logique + applications

soit f une application de N vers N:
montrer l'implication suivante:
f injective==> (qqsoit M>0)(iexiste N>0)(qqsoit n>=N) : f(n)>M
merci d'avance

f étant injective, f(N) est une partie infinie de N.
Soit M positif, il existe donc n0 de N tel que f(n0)>M.
Considérons l'ensemble A={n£N / n > n0 et f(n) < M}
Par injectivité de f, cet ensemble A est fini (de cardinal inférieur à [M+1])
Il suffit donc de choisir un N supérieur à tous les élément de A (ou N=n0 si A est vide...)