Objet du probléme : découvrir et étudier une propriété caractéristique du triangle équilatéral.
Un détour par les quadrilatères :
Montrez que la somme des distances d'un point intérieur à un carré aux différents côtés de ce carré est constante.
Montrez que cette propriété s'étend au rectangle. Que vaut cette somme ?
Cas du triangle équilatéral :
On ramène le plan à un repère orthonormé dont le centre est le centre de gravité du triangle ( FAIT une figure ). Dans ce repère A a pour coordonnées ( 2 ; 0 )
Calculez les coordonnées de B et C.
On appelle H1, H2 et H3 les projetés orthogonaux d'un point M( x0 ; y0 ) sur les côtés du triangle, c'est-à-dire sur les droites supportant les côtés : cette précision est importante pour la suite, où nous envisagerons le cas d'un triangle quelconque. Dans le cas d'un triangle possédant un angle obtus, il se peut que l'un ou l'autre de ces projetés soit extérieur au "côté" proprement dit.
On appelle d la somme de MH1, MH2 et MH3.
Que vaut MH1 ?
Calculez une équation cartésienne de la droite ( AB ). Déduisez-en la distance MH3.
Sans nouveau calcul, donnez la distance MH2.
Calculez d. Que constatez-vous ?
Enoncez cette propriété en français courant.
Cas du triangle rectangle :
Dans le même repère on considère le triangle rectangle OAB avec A ( a ; 0 ) et B ( 0 ; b ) et les projeté orthogonaux H1, H2 et H3 d'un point M ( x0 ; y0 ) intérieur au triangle sur les côtés ( OB ), ( OA) et ( AB ) ( a et b strictement positifs ).
Donnez MH1 et MH2.
Déterminez une équation cartésienne de ( AB ) et déduisez-en MH3.
On pose z0 = MH1 + MH2 + MH3. Que pouvez-vous dire de z0 par rapport au cas du triangle équilatéral ?
Nous souhaitons déterminer pour quel position de M, z0 atteint son minimum.
Montrez que le problème est équivalent à déterminer la cote minimale d'un point situé sur l'intersection du prisme droit ayant pour base le triangle OAB avec un plan P dont vous donnerez une équation cartésienne.
Nous admettrons que ce minimum peut-être atteint soit :
En un point à la vertical d'un sommet du triangle rectangle.
En un point à la verticale d'un point d'une arête du triangle.
En un point quelconque.
Faites correspondre aux deux derniers cas de figure une condition d'orthogonalité sur un vecteur normal au plan P. Montrez alors que nous nous trouvons dans le premier cas.
Donnez la valeur que prend z0 en chacun des trois sommets et comparez par le calcul ces valeurs pour déterminer le minimum et en quel sommet il est atteint. Enoncez le résultat en français courant.
Etude de la réciproque du 1 :
Nous allons maintenant démontrer que la propriété découverte au 1 est une propriété caractéristique du triangle équilatéral.
On considère un triangle ABC, avec A ( a ; 0 ), B ( 0 ; b ) et C ( 0 ; -c ) ( a, b et c strictement positifs ).
En vous inspirant du 3 et sans nouveaux calculs, déterminez MH1, MH2 et MH3.
On pose z0 = MH1 + MH2 + MH3.
A quelle condition sur a, b et c, z0 ne dépend-il ni de x0 ni de y0. Concluez.
Pour chercher un peu plus loin :
pour b = c on est dans le cas d'un triangle isocèle de demi-angle d'ouverture u. z0 peut alors s'écrire :
z0 = ( 1 - 2sin u ) x0 + 2 b sin u
Prouvez ce qui précède.
Etudiez la position où est atteint le minimum de z0 selon les valeurs de u
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