Question sur les ensembles/applications

Soit f une application tel que :
f: ]0;+infini[ x ]0;+infini[ --> ]4;+infini[
(x,y) --> (x+y)(1/x + 1/y)

Montrer que f est surjectif.

BJR yassinus !!
Tu prends A dans ]4;+infini[
il s'agit de trouver (x,y) dans ]0;+infini[ x ]0;+infini[ tel que :
A=f(x,y)=(x+y)(1/x + 1/y)=(x+y)^2/xy soit (x+y)^2=A.xy
On pose S=x+y et P=xy alors S^2=A.P soit P=S^2/A
On sait que x et y sont alors solutions de l'équation du Second Degré :
X^2-S.X+P=0 soit X^2-S.X+S^2/A=0
Delta=S^2 -4.S^2/A=S^2.{A-4}/A est >0 puisque A>4
donc deux racines distinctes :
a=|S|.{1+{(A-4)/A}^(1/2)} et b=|S|.{1-{(A-4)/A}^(1/2)}
Puisque tu ne veux qu'une solution ( f SURJECTIVE ) , on pourra prendre S=1 puis :
x=1+{(A-4)/A}^(1/2) et y= 1-{(A-4)/A}^(1/2)
qui répondent au problème posé !!!
A+ BOURBAKI

Merci pour la réponse, seulement je n'ai pas compris pourquoi vous avez pris x et y comme solutions à l'équation

yassinus a écrit:

Soit f une application tel que :
f: ]0;+infini[ x ]0;+infini[ --> ]4;+infini[
(x,y) --> (x+y)(1/x + 1/y)
Montrer que f est surjectif.

BJR yassinus !!
Je n'ai fait que résoudre l'équation
f(x,y)=(x+y)(1/x + 1/y)=A
pour A>4 et
x,y à chercher dans ]0;+infini[ x ]0;+infini[
A+ BOURBAKI