fonction à trouver

trouver toutes les applications continues et definies de IR --) IR et qui vérifient :
pour tt (x,y) £ IR² [f[(x+y)/2]]²=f(x)*f(y)

bsr tt le monde
cele la , elle est moins corriace!!
pour y=0 f(x/2)^2=f(x)f(0)
si f(0)=0 alors f est nulle et verifie l'equation initiala.
si f(0)!=0
alors f(x+y)f(0)=f(x)f(y) ==> f(x+y)/f(0)=f(x)/f(0) .f(y)/f(0)
posons h(x)=f(x)/f(0)
et donc h(x+y)=h(x)h(y)
soit g(x)=log(a)(h(x))
g continue et verifie l'equation de cauchy donc g(x)=bx
==> h(x)=a^(bx)
reciproquement la fonction d.c^x verifie l'equation fonctionnelle.

Bonsoir callo ;

Ce sont les fonctions fa,b : x --> a.exp(bx) avec a,b£IR (sauf erreur bien entendu)