Point fixe

Soit f une application croissante de R dans R Montrer que f admet au moins un point fixe

BSR Mahdi !!!
Je crois que c'est FAUX !!!
Prendre f de IR sur IR définie par f(x)=x+1 pour s'en convaincre!!
A+ LHASSANE
Laouacher Mabrouka !!!

je vais verifier l'enoncé merci pour la remarque

Je pense que f applique [a;b] dans lui-même et f croissante
alors elle admet au- un point fixe ?????
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

Je pense que f applique [a;b] dans lui-même et f croissante
alors elle admet au- un point fixe ?????
A+ LHASSANE

voila c'est ca

bonsoir

on considére g définit sur [a;b] par g(x) = f(x) - x

on a g(a) >0 et g(b) < 0

donc selon TVI ...

OUI Conan , ce serait juste s'il y avait la CONTINUITE de f !!
A+ LHASSANE

PS : Post rectifié à la lumière de l'observation de Mahdi ci-après !!!!

est ce ke j'ai mentionné que f est continue?

ça serais trop facile si [a;b] était fini !!

comment?

j'attends toujours une reponse claire mr conan ,

bonne soirée à tous,
est-ce c'est moi ou le latex ne marche pour personne?

Citation :

Soit f une application croissante de [a;b] dans [a;b] Montrer que f admet au moins un point fixe

on considére l'ensemble : E = { x € [a;b] / f(x) >= x }

E est non vide puisqu'il contient a et il est majoré par b , donc il admet une borne supérieure c

donc pour tout e = epsilon > 0 ,il existe x de E tel que : c-e =< x =< c *

alors on a: f(x) >= x (x est dans E) et f est croisante donc f(x) =< f(c) **

alors d'aprés * et ** : f(c) >= f(x) >= x >= c-e

donc pour tout e >0 f(c) >= c-e , alors : f(c) >= c (1)

et on a : f(c) >= c => f(f(c)) >= f(c) (f est croissante) . Alors f(c) € E

par conséquent : f(c) =< c (2) (c est la borne supérieur de E)

de (1) et (2) on déduit que : f(c) = c (sauf erreur bien entendu)

d'ou vient l'idée de poser cet ensemble?

on a déja traiter dans le forum des exo pareils , ou on pose ce méme ensemble de f(x) >= x , et on étudie sur sa borne superieur

toute l'idée de l'ensemble vient de fait que f est bornée et majorée

je crois qu'on peux suivre le méme raisonnement pour la borne inférieur

j'avais écrit e >=0 ce qui n'est pas parfait , mais mnt j'ai réctifier pour ce petit probléme

dèja c'est pas une ecriture rigoureuse de la caractérisation de la borne superieure .Et bon la moitié du travail est fait: l'ensemble est construit c'est l'idée ,reste a trouver le point fixe

f(c)>=c-e ==> f(c)>=c ? pourquoi?

tu peux mieux m'expliquer , ou il y a de l'incertain pour la bonne superieur dans la démo ?

mais je crois que ceci est effectivement correcte !!!

Mahdi a écrit:

f(c)>=c-e ==> f(c)>=c ? pourquoi?

une justification ?

J'en ai vu parler de ce problême mais on ne cherchais pas un point fixe le voilà:
on a deux fonctions f et g deux bijections de [a,b] vers [a,b] (donc on a une continuité)
montrer qu'il y au moins un c appartient à [a,b] tel que f(c)=g(c)
Voilà je vous laisse le soin de le faire