Point fixe

Mahdi a écrit:

Mahdi a écrit:

f(c)>=c-e ==> f(c)>=c ? pourquoi?

une justification ?

ce que j'ai écrit c que :

pour tout e >0 , f(c) >= c-e , alors : f(c) >= c

e=epsilon

Conan a écrit:

Mahdi a écrit:

Mahdi a écrit:

f(c)>=c-e ==> f(c)>=c ? pourquoi?

une justification ?

ce que j'ai écrit c que :

pour tout e >0 , f(c) >= c-e , alors : f(c) >= c

e=epsilon

de ma part ce que j'ai ecrit c que pourquoi f(c)>=c-e alors f(c)>=c ?

bonne nuit on discutera ca demain

pour ta derniére question , c a toi de choisir l'ensemble pour la démontrer !

bonne nuit (on verra ça demain)

Conan a écrit:

pour ta derniére question , c a toi de choisir l'ensemble pour la démontrer !

bonne nuit (on verra ça demain)

Bon moi je l'ai dèja fait pourtant je l'ai proposé , mais malheureusement ,a part l'ensemble que t'as posé , ton raisonnement est faux

Mahdi a écrit:

Conan a écrit:

pour ta derniére question , c a toi de choisir l'ensemble pour la démontrer !

bonne nuit (on verra ça demain)

Bon moi je l'ai dèja fait pourtant je l'ai proposé , mais malheureusement ,a part l'ensemble que t'as posé , ton raisonnement est faux

si on considére l'ensemble : F = {c-e / e>0} donc c est sa borne supérieure . et selon {pour tout e >0 , f(c) >= c-e} on déduit que f(c) est un majorant de F .

alors f(c) est supérieur ou égal a la borne supérieur par définition.
donc : f(c) >= c

Conan a écrit:

Mahdi a écrit:

Conan a écrit:

pour ta derniére question , c a toi de choisir l'ensemble pour la démontrer !

bonne nuit (on verra ça demain)

Bon moi je l'ai dèja fait pourtant je l'ai proposé , mais malheureusement ,a part l'ensemble que t'as posé , ton raisonnement est faux

si on considére l'ensemble : F = {c-e / e>0} donc c est sa borne supérieure . et selon {pour tout e >0 , f(c) >= c-e} on déduit que f(c) est un majorant de F .

alors f(c) est supérieur ou égal a la borne supérieur par définition.
donc : f(c) >= c

l'ensemble de quels elements?

je te conseille de changer de methode

[quote="Conan"]

Citation :

Soit f une application croissante de [a;b] dans [a;b] Montrer que f admet au moins un point fixe

Il est plus facile de considere la fct g:x->f(x)-x et appliquer thrme des valeurs intermediaires sur g ! puis conclure .. rien de plus

[quote="saadhetfield"]

Conan a écrit:

Citation :

Soit f une application croissante de [a;b] dans [a;b] Montrer que f admet au moins un point fixe

Il est plus facile de considere la fct g:x->f(x)-x et appliquer thrme des valeurs intermediaires sur g ! puis conclure .. rien de plus

f n'est pas a priori supposé continue

je ne vois pas d'erreurs dans ma démo Mahdi , et tu me dis de changer de méthode sans prouver que la mienne est fausse !!!!!

laisser moi vous dire que vous tournée en rond parce que cet enoncé est totalement faux on peut considérer un contre exemple simple.
et vous avez mettez tout ce temps à tourner en rond !!!

BSR raito321 !!
Tu pourrais peut etre bien nous donner un contre-exemple de fonctions croissante de I=[a;b] dans lui-même et qui n'admette pas de point fixe .
Je l'attends .....
A+ LHASSANE
PS : voici un lien qui pourrait t'intéresser
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-144502.html

BSR Conan & Mahdi !!
Je crois que la Démo de Conan est juste !!!!
Avec sa permission je l'ai réécrite en l'expurgeant de certaines choses et en y rajoutant un LEMME qui rend compréhensible .

<< On considére l'ensemble : E = { x € [a;b] / f(x) >= x }

E est non vide puisqu'il contient a et il est majoré par b , donc il admet une borne supérieure c

donc pour tout EPSILON > 0 , il existe T de E tel que : c - EPSILON < T =< c *

alors on a: f(T) >= T puisque T est dans E et comme f est croissante alors f(T) =< f(c) **

alors d'aprés * et ** on déduit que f(c) >= f(T) >= T >= c - EPSILON

En définitive pour tout EPSILON >0 EPSILON >= c – f(c)
En vertu du Lemme suivant :
Lemme : si X est un nombre réel vérifiant X<=EPSILON pour tout EPSILON >0 alors X<=0 .
On conclut que c - f(c )<=0 soit c<=f( c) (1)

On a : f(c) >= c ====> f(f(c)) >= f(c) ( car f est croissante ) . Alors f(c) € E

et de ce fait on aura aussi f(c) =< c (2) (c est la borne supérieure de E)

de (1) et (2) on déduit que : f(c) = c
(sauf erreur bien entendu) >>

En fait , c'est la chose suivante qui est à l'origine de quelques incompréhensions !!

Conan a écrit:

si on considére l'ensemble : F = {c-e / e>0} donc c est sa borne supérieure . et selon {pour tout e >0 , f(c) >= c-e} on déduit que f(c) est un majorant de F .

alors f(c) est supérieur ou égal a la borne supérieur par définition.
donc : f(c) >= c

Très Bonne Soirée à Vous !!
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

BSR Conan & Mahdi !!
Je crois que la Démo de Conan est juste !!!!
Avec sa permission je l'ai réécrite en l'expurgeant de certaines choses et en y rajoutant un LEMME qui rend compréhensible .

<< On considére l'ensemble : E = { x € [a;b] / f(x) >= x }

E est non vide puisqu'il contient a et il est majoré par b , donc il admet une borne supérieure c

donc pour tout EPSILON > 0 , il existe T de E tel que : c - EPSILON < T =< c *

alors on a: f(T) >= T puisque T est dans E et comme f est croissante alors f(T) =< f(c) **

alors d'aprés * et ** on déduit que f(c) >= f(T) >= T >= c - EPSILON

En définitive pour tout EPSILON >0 EPSILON >= c – f(c)
En vertu du Lemme suivant :
Lemme : si X est un nombre réel vérifiant X<=EPSILON pour tout EPSILON >0 alors X<=0 .
On conclut que c - f(c )<=0 soit c<=f( c) (1)

On a : f(c) >= c ====> f(f(c)) >= f(c) ( car f est croissante ) . Alors f(c) € E

et de ce fait on aura aussi f(c) =< c (2) (c est la borne supérieure de E)

de (1) et (2) on déduit que : f(c) = c
(sauf erreur bien entendu) >>

En fait , c'est la chose suivante qui est à l'origine de quelques incompréhensions !!

Conan a écrit:

si on considére l'ensemble : F = {c-e / e>0} donc c est sa borne supérieure . et selon {pour tout e >0 , f(c) >= c-e} on déduit que f(c) est un majorant de F .

alors f(c) est supérieur ou égal a la borne supérieur par définition.
donc : f(c) >= c

Très Bonne Soirée à Vous !!
A+ LHASSANE

Bien vu BOURBAKI c'est ce qu'il manquait + des inégalités strictes dans la caracterisation de la borne sup.

Merci Mahdi & Conan !
Ceci est pour Conan :

Conan a écrit:

si on considére l'ensemble : F = {c - EPSILON / EPSILON >0} donc c est sa borne supérieure . et selon {pour tout EPSILON >0 , f(c) >= c - EPSILON} on déduit que f(c) est un majorant de F .alors f(c) est supérieur ou égal a la borne supérieur par définition.donc : f(c) >= c

C’est encore vrai que cette Démo est correcte en fait quand on prend le soin de la lire mais avoue–le , elle n’est pas courante ….. Enfin , c'est mon point de vue !!!
Regarde le Lemme , sa démo par l’absurde tient en une ligne !!!
Lemme : si X est un nombre réel vérifiant X<=EPSILON pour tout EPSILON >0 alors X<=0 .
Supposons X>0 alors choisissons EPSILON=X/2 , pour ce choix , on devrait avoir X<=X/2 d’où par simplification 1<=1/2 ce qui est absurde !!!!
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

Merci Mahdi & Conan !
Ceci est pour Conan :

Conan a écrit:

si on considére l'ensemble : F = {c - EPSILON / EPSILON >0} donc c est sa borne supérieure . et selon {pour tout EPSILON >0 , f(c) >= c - EPSILON} on déduit que f(c) est un majorant de F .alors f(c) est supérieur ou égal a la borne supérieur par définition.donc : f(c) >= c

C’est encore vrai que cette Démo est correcte en fait quand on prend le soin de la lire mais avoue–le , elle n’est pas courante ….. Enfin , c'est mon point de vue !!!
Regarde le Lemme , sa démo par l’absurde tient en une ligne !!!
Lemme : si X est un nombre réel vérifiant X<=EPSILON pour tout EPSILON >0 alors X<=0 .
Supposons X>0 alors choisissons EPSILON=X/2 , pour ce choix , on devrait avoir X<=X/2 d’où par simplification 1<=1/2 ce qui est absurde !!!!
A+ LHASSANE

un lemme tres classique en mpsi pourtant il est tres utile

salut,BOURBAKI
merci pour le site j'y vais jetter un coup d'oeil

E={x€[a,b] / f(x)>=x} , c=supE et c€[a,b]

Si f(c)>c ==> c€E ==> f(c)=<c absurde.

si f(c)<c ==> il existe d€E tel que f(c)<d=<c
==> f(f(c))=<f(d)=<f(c) ==> f(c)<d=<f(d))=<f(c) absurde.

Donc f(c)=c

Soit f:C -->C continue de limite nulle quand z-->00.
Montrer que f admet un point fixe

si f(x)>x par passage a la limite lim f en +oo est +oo absurde

si f(x)<x par passage a la limite lim f en -oo est -oo absurde

donc il existe c tel que f(c)=c

abdelbaki.attioui a écrit:

E={x€[a,b] / f(x)>=x} , c=supE et c€[a,b]

Si f(c)>c ==> c€E ==> f(c)=<c absurde.

si f(c)<c ==> il existe d€E tel que f(c)<d=<c
==> f(f(c))=<f(d)=<f(c) ==> f(c)<d=<f(d))=<f(c) absurde.

Donc f(c)=c

par une methode ensembliste , on peut pas faire ,du point de vue topologique !!
" l'image reciproque .... par une fct continue " !!!

je pense pas

l'idée je crois elle est simple .faites une construction d'une courbe qcq qui vérifie les hypos et tu peux voire que le point fixe peut etre le sup de E .
en fait c'est un classique du sup mais je crois que l'idée vient de ça ... c'est comme que j'ai pensé quand je l'ai vu pour la 1 fois l... :'idée est naturelle vu les démos du cours (théoréme des valeurs intermédiaires par exple....)


sup oujda
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