Autour du point fixe

Bonjour,

Soit f:[a,b] ----> [a,b] continue. Soit (a_n) une suite de ]0,1[ de limite nulle. On suppose que la série de terme général a_n diverge.
Soit (u_n) la suite récurrente définie par la donnée d'un u_0 dans [a,b], et la relation :
u_(n+1) = a_n f(u_n)+(1-a_n) u_n

Montrer que la suite (u_n) converge.

AA+

Bonsoir, pour tout n, u_n est dans [a,b] la suite est donc bien définie.
on a u_(n+1)-u_n= a_n (f(u_n) -u_n). Alors la suite (u_(n+1)-u_n) tend vers 0 ( car a_n tend vers 0 et (f(u_n) -u_n) est bornée).

D'aprés un résultat classique l'ensemble des valeurs d'adhérences de la suite (u_n), qui est non vide fermé et borné, est un intervalle [u,v].

Il reste à montrer que u=v, je vous laisse un peu de temps
à suiivre
AA+

Laisse nous un peu de temps