point fixe commun

Soient f,g:[0,1] --> [0,1] continues telles que f(g(x))=g(f(x)) qqs x€[0,1].
On suppose en outre que f est monotone.
Montrer qu'il existe a€[0,1] tel que f(a)=g(a)=a.

Je ne suis pas sur qu'il faille utiliser cela mais on peut montrer que si
f : [0,1] -> [0,1] est monotone, alors f admet un point fixe (ya pas besoin de la continuité il me semble)

Supposons par exemple f croissante :
ON pose
A = {x de [0,1] tel que f(x)>=x}

0 est un élément de A et A est une partie non vide majoré et minoré de |R
elle admet un borne sup et inf.

On pose m = supA

Si m est un élément de A, alors f(m)>= m et f croissante donc ff(m)>=f(m)
donc f(m) est élément de A et comme m est la borne sup de A, on a :
f(m)=<m
il vient donc f(m)=m

si m n'appartient pas à A montrons que c'est absurde.
on a donc f(m)<m
par définition de la borne sup, il existe n dans A tel que :
f(m)<n=<m ou encore f(m)<n=< f(n)

par contraposée de la croissance de f : si f(m)<f(n) => m=<n=<m
donc n=m d'où m est dans A ce qui est exclu.

d'ou le résultat

reste à conclur emais il est tard et j'ai cours demain

Oui, mais pas nécessaire car f étant continue de [0,1] dans [0,1]
Alors Z(f)={ x€[0,1] / f(x)=x} est non vide.
De même Z(g) est non vide .
La question est de montrer que Z(f) n Z(g) est non vide.

Bonsoir abdelbaki et pelikano ;
* Si f et décroissante , la fonction h : x--> f(x)-x est continue strictement décroissante et comme elle s'annule (TVI) elle s'annule en fait une seule fois en un certain a de [0,1] et vu que h(g(a))=0 on voit que g(a)=a .
* Si f est croissante , en notant B = { x de [0,1] / g(x)=x } il est facile de voir que B est non vide et stable par f . Pour b dans B considérons alors la suite récurrente x0=b xn+1=f(xn) . La suite (xn) est monotone (croissante si b=<f(b) décroissante sinon) donc convergente (puisque bornée) vers un certain a de [0,1] . La continuité de f et g donne que f(a)=g(a)=a (sauf erreur bien entendu)

Je me demande si le résultat reste vrai sans la monotonie de f

Hmm il existe un a tel que f(a)=a (continuité..), alors aussi f(g(a))=g(a).
Donc tous les termes de la suite a,g(a),g(g(a)),... sont des points fixes de f.
Leurs points d'accumulation le sont aussi.
Peut-être qu'il faudrait échanger f et g, et utiliser la monotonie de f.
De là, c'est fini.
(la suite converge vers un certain a' tel que f(a') = a')

Ok, mais si on n'a pas le droit d'utiliser le fait que f est monotone.. je vais y réfléchir.

elhor_abdelali a écrit:

Je me demande si le résultat reste vrai sans la monotonie de f

Non, il existe un article sur cette question. Le contre exemple est trés compliqué.

Tu as cet article sous la main? Ca m'intéresserait de le lire.
(car je pensais qu'il était bien possible que ça reste vrai ^^; bon, mais après environ 15 mins. de réflexion, c'était du 50/50 )

Hmm je pense que j'ai une idée pour un contre-exemple.
Mais voyons ça..

Hmm définissons f(0)=0, f(1/4)=3/4, f(1/2)=1/2, f(3/4)=1/4, f(1)=1 et g(0)=1,g(1/4)=1/4,g(1/2)=0,g(3/4)=3/4,g(1)=1/2.
Alors l'identité g(f(x))=f(g(x)) est vraie pour x=0,1/4,1/2,3/4 et 1 et il est possible d'avoir des fonctions continues f, g telles que 0, 1/2, 1 et 1/4, 3/4 soient des points fixes de f, g respectivement.
La question est de savoir si l'on peut étendre f, g continûment de sorte qu'elles satisfassent toujours l'équation g(f(x))=f(g(x)) - je pense qu'on peut...

Une manière bizarre de dessiner les graphes (F et G représentent des points de f, g respectivement) :
GxxxF
xFxGx
xxFxG
xGxFx
FxGxx.

Bonsoir ;

Citation :

Non, il existe un article sur cette question. Le contre exemple est trés compliqué.

Si tu peux abdelbaki j'aimerais bien lire cet article .

http://www.math.wisc.edu/~propp/SSL/Minutes2001/ssl-minutes-2001-03-29.html

Bonne lecture

Ok, à partir de ton lien, j'ai trouvé les trois articles suivants (dommage que je n'ai pas accès à JSTOR ) :
Haskell Cohen
William M. Boyce
Gerald Jungck.

lol, donc il n'est pas surprenant que je n'ai pas été capable de répondre à la question d'Elhor (mais mon intuition n'étais pas trop mauvaise )
(au fait, j'avais aussi défini quelque chose de semblable au concept de "compatible maps" défini dans cet article ^^)