Ponit fixe commun

Bonjour
Soient f,g : [a,b] ---> [a,b] continues telles que fog=gof.
1) Montrer qu'il existe c de [a,b] tel que f(c)=g(c).
2) f et g admettent-t-elles un point fixe commun ?

AA+

a)
D'abord un lemme : f a un point fixe

En effet : f(a)-a >= 0 et f(b)-b <= 0 + TVI


Par esprit de contradiction on suppose que f < g par exemple.

L'ensemble des points fixes de f est donc non vide, fermé (f étant continue), borné : on prend x0 sont plus grand élément.

Mézalor f(g(x0)) = g(f(x0)) = g(x0) : g(x0) est un point fixe mais g(x0) > f(x0) = x0 + blème.

b) Nan

Bonjour tµtµ

Effectivement, pas de point fxe commun. L'exemple est trés compliqué

AA+