encore une eq fonctionnelle

soit f une fonction continue de [0,1] dans [0,1]

tel que fofofofof...f(x)=x
n fois

trouver f

f est injective et continue donc monotone, croissante par exemple.

si f(x) < x alors f(f(x)) < f(x) < x et fofofofof...f(x) < x contradiction.
pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x

ThSQ a écrit:

f est injective et continue donc monotone, croissante par exemple.

si f(x) < x alors f(f(x)) < f(x) < x et fofofofof...f(x) < x contradiction.
pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x

Salut THSQ,
C Bien ,reste le cas où f décroissante ...
..

ThSQ a écrit:

f est injective et continue donc monotone, croissante par exemple.

si f(x) < x alors f(f(x)) < f(x) < x et fofofofof...f(x) < x contradiction.
pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x

d'ou as tu f est injectif

mohamed_01_01 a écrit:

ThSQ a écrit:

f est injective et continue donc monotone, croissante par exemple.

si f(x) < x alors f(f(x)) < f(x) < x et fofofofof...f(x) < x contradiction.
pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x

d'ou as tu f est injectif

on a fof...of(x)=x donc fof...of est inj d'ou f est inj

fog injective => f injective , cest ça ?
lemme utimiser plusieur fois bien sur

ThSQ a écrit:

f est injective et continue donc monotone, croissante par exemple.

si f(x) < x alors f(f(x)) < f(x) < x et fofofofof...f(x) < x contradiction.
pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x

il se peut qu'une fonction soit injective et nan pas strictement monotone la recriproque est juste toute fonction strictement monotone est injective

A+

.............

o0aminbe0o a écrit:

fog injective => f injective , cest ça ?
lemme utimiser plusieur fois bien sur

tu peux le demontrer

c du cours

Mahdi a écrit:

soit f une fonction continue de [0,1] dans [0,1]

tel que fofofofof...f(x)=x
n fois

trouver f

C'est quasiment le post de https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/equation-fonctionnelle-facile-t6564.htm.

En résumé :
f évidemment injective.
f continue
Donc f strictement monotone.

1) Cas croissante : seule solution f(x)=x
2) Cas décroissante : n doit être pair et donc n=2p
On a donc g=f0f croissante et solution de g^p(x)=x; Donc g(x)=fof(x)=x
Et donc f(x) = k^(-1)(1-k(x))
où k(x) est toute bijection continue de [0,1] dans [0,1]

--
Patrick

pco a écrit:

Mahdi a écrit:

soit f une fonction continue de [0,1] dans [0,1]

tel que fofofofof...f(x)=x
n fois

trouver f

C'est quasiment le post de https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/equation-fonctionnelle-facile-t6564.htm.

En résumé :
f évidemment injective.
f continue
Donc f strictement monotone.

1) Cas croissante : seule solution f(x)=x
2) Cas décroissante : n doit être pair et donc n=2p
On a donc g=f0f croissante et solution de g^p(x)=x; Donc g(x)=fof(x)=x
Et donc f(x) = k^(-1)(1-k(x))
où k(x) est toute bijection continue de [0,1] dans [0,1]

--
Patrick

Salut Patrick,
Vous Pouvez Mieux Expliquer ce qui est en rouge?

Alaoui.Omar a écrit:

pco a écrit:

Mahdi a écrit:

soit f une fonction continue de [0,1] dans [0,1]

tel que fofofofof...f(x)=x
n fois

trouver f

...

2) Cas décroissante : n doit être pair et donc n=2p
On a donc g=f0f croissante et solution de g^p(x)=x; Donc g(x)=fof(x)=x
Et donc f(x) = k^(-1)(1-k(x))
où k(x) est toute bijection continue de [0,1] dans [0,1]

Salut Patrick,
Vous Pouvez Mieux Expliquer ce qui est en rouge?

Bonjour et bien sûr :

Si f est monotone décroissante :
fof est monotone croissante,
fofof est monotone décroissante,
fofofof est monotone croissante,
...
Et toute composition impaire est donc décroissante.
Comme ou veut que fofo...of n fois soit x, et donc croissante, il est nécessaire d'avoir n pair.

--
Patrick

mohamed_01_01 a écrit:

ThSQ a écrit:

f est injective et continue donc monotone, croissante par exemple.

si f(x) < x alors f(f(x)) < f(x) < x et fofofofof...f(x) < x contradiction.
pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x

d'ou as tu f est injectif

si f(x)=f(y) ==> fofof....of(x)=fofofofof...f(y) ==> x=y

pco a écrit:

Alaoui.Omar a écrit:

pco a écrit:

Mahdi a écrit:

soit f une fonction continue de [0,1] dans [0,1]

tel que fofofofof...f(x)=x
n fois

trouver f

...

2) Cas décroissante : n doit être pair et donc n=2p
On a donc g=f0f croissante et solution de g^p(x)=x; Donc g(x)=fof(x)=x
Et donc f(x) = k^(-1)(1-k(x))
où k(x) est toute bijection continue de [0,1] dans [0,1]

Salut Patrick,
Vous Pouvez Mieux Expliquer ce qui est en rouge?

Bonjour et bien sûr :

Si f est monotone décroissante :
fof est monotone croissante,
fofof est monotone décroissante,
fofofof est monotone croissante,
...
Et toute composition impaire est donc décroissante.
Comme ou veut que fofo...of n fois soit x, et donc croissante, il est nécessaire d'avoir n pair.

--
Patrick

Bien Merci

o0aminbe0o a écrit:

fog injective => f injective , cest ça ?
lemme utimiser plusieur fois bien sur

Bonjour o0aminbe0o,

1) Non, ceci est faux. Exemple :

f(x)=sin(pi*x/2)
g(x)=x*|x|/(x^2+1)
f(g(x)) est injective et f(x) ne l'est évidemment pas.

2) ce qui est vrai :
f(g(x)) injective ==> g(x) injective
Demo évidente : g(x)=g(y) ==> f(g(x))=f(g(y)) ==> x=y

3) c'est cette dernière propriété évidente qui est utilisée (une seule fois) ici :
f(x)=f(y) ==> f^[n-1](f(x))=f^[n-1](f(y)) ==> f^[n](x)=f^[n](y) ==> x=y

--
Patrick

o0aminbe0o a écrit:

fog injective => f injective , cest ça ?
lemme utimiser plusieur fois bien sur

en fait c'est plutot si gof est inj alors f est inj ce qui est valable dans cet exo puisque g n'est autre que f meme

c koi une fonction continue ?

moutasila