divisibilité

montrer que 2^n divise 5^(2^{n-2})-1

n>2

C'est faux, tu as dû faire une faute de frappe Mahdi.

Pour n >2

Mahdi a écrit:

montrer que 2^n divise 5^(2^{n-2})

n>2

Bonjour Mahdi.

Comme te l'a dit ThSQ, cela est faux :

5^(2^{n-2}) est une puissance de 5 et est donc impair, donc ne peut être divisé par une puissance non nulle de 2.

Par exemple, pour n=3, 8 ne divise évidemment pas 25.

Tu as dû faire une faute quelquepart dans l'énoncé.

En revanche, si on modifie l'énoncé en écrivant : "montrer que 2^n divise 5^(2^{n-2})-1, pour tout n>1", alors cela devient vrai et démontrable par récurrence :

Cela est vrai pour n=2 (4 divise 5-1)
Si cela est vrai pour n (2^n divise 5^(2^(n-2))-1), alors :
5^(2^(n-1))-1 = (5^(2^(n-2))-1)(5^(2^(n-2))+1)
le premier facteur est divisible par 2^n (hypothèse de récurrence) et de deuxième est pair. Donc le produit est divisible par 2^(n+1).
CQFD.

--
Patrick

Oui vous avez raison maintenant c'est rectifié

on peut vite voire que u_n=5^2^(n-2)-1=
(5-1)(5+1)(5²+1)...(5^2^(n-3)+1)=4(5+1)...(5^2^(n-3)+1)
2l5+1 et 2l5²+1 et ... et 2l(5^2^(n-3)+1) ((n-3) fois)
donc 2^(n-3)l (5+1)...(5^2^(n-3)+1)
=>2^(n-1)l u_n c demontre que ta encore une ereut de frappe
et la preuve c que 4 divise j'amais (5^2^(n-3)+1) qq n de N
a+

kalm a écrit:

on peut vite voire que u_n=5^2^(n-2)-1=
(5-1)(5+1)(5²+1)...(5^2^(n-3)+1)=4(5+1)...(5^2^(n-3)+1)
2l5+1 et 2l5²+1 et ... et 2l(5^2^(n-3)+1) ((n-3) fois)
donc 2^(n-3)l (5+1)...(5^2^(n-3)+1)
=>2^(n-1)l u_n c demontre que ta encore une ereut de frappe
et la preuve c que 4 divise j'amais (5^2^(n-3)+1) qq n de N
a+

non plutot ca demontre que t'as pas bien lu l'enoncé

Solution :
On peut montrer que 5^(2^{n-1}) congrue 1[2^n](Théorème d'Euler)

kalm a écrit:

on peut vite voire que u_n=5^2^(n-2)-1=
(5-1)(5+1)(5²+1)...(5^2^(n-3)+1)=4(5+1)...(5^2^(n-3)+1)
2l5+1 et 2l5²+1 et ... et 2l(5^2^(n-3)+1) ((n-3) fois)
donc 2^(n-3)l (5+1)...(5^2^(n-3)+1)
=>2^(n-1)l u_n c demontre que ta encore une ereut de frappe
et la preuve c que 4 divise j'amais (5^2^(n-3)+1) qq n de N
a+

de quel Un tu parles? et puis ya pas de fautes sinon exhibe un contre exemple