problème N°114 de la semaine (31/12/2007-06/01/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bon-jour !
solution postée!
voici la solution de selfrespect
Salut Mr samir:
notons S=a^4+b^4+c^4.
a+b+c=0 et a²+b²+c²=2008
$:S=a²(b+c)²+b²(a+c)²+c²(a+b)²
=2(a²b²+a²c²+b²c²)+2abc(a+b+c)=2d
d'autre part on a :
S=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+c²b²+a²c²)=2008²-2d
alors S=2008²/2.

bonne année à tt le monde!!!
solution postée !!!
voici la solution de Iverson_h3
Slt et bonne nouvelle année à tt le monde !!!!!!!!
Voici se que g trouvé :
- On a : a + b + c = 0 => (a+b+c)²=0 => -(a²+b²+c²)/2 = ab+ac+bc = -1004
- => (ab+ac+bc)² = 1004² => a²b²+b²c²+a²c² = 1004²-2abc(a+b+c)=1004² «a+b+c=0»
- Et on a a^4 + b^4 + c^4 = 2008²- 2(a²b²+b²c²+a²c²) = 2008²-2*1004² = 2016032

@+

Postée par : Iverson_h3

salut tout le monde
solution postée
voici la solution de pilote militaire
salut samir
premierement je vous remerciez pour vos effort qui ont pour but d'aider les eleves marocain (en corrigant ses problemes en ...............)MERCI IFINITIFEMENT
pour le probleml
a+b+c=0 ==> a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)
a^4+b^4+c^4=2(ab^2+bc^2+ac^2) (a+b+c=0)
ab+bc+ac=-1004
ab^2+bc^2+ac^2=1004^2
a^4+b^4+c^4=2(1004)^2

solution postée
voici la solution de mahdi
a²+b²+c²=2008 multiplions cette expression par a² , b² et c² resp

a^4+a²b²+a²c²=2008a²
b^4+a²b²+b²c²=2008b²
c^4+a²c²+b²c²=2008c²

la somme donne : a^4+b^4+c^4+2(a²b²+b²c²+a²c²)=2008²

on pose a²b²+a²c²+b²c²=C

donc S+2C=2008²


d'autre part a+b+c=0 ==>a²=(b-c)²=b²-2bc+c² ==> b²c²=(1004-a²)²

de meme : a²c²=(b²-1004)² et a²b²=(c²-1004)²

On somme les 3 égalités

on trouve C=S-2008²+3*1004²

or S+2C=2008²


S=2008²-2*1004²

finalement S=2*1004²

sauf erreur

Solution
voici la solution de ThsQ
Bonjour Samir,

\sum a^4 = (\sum a²)² - 2 (\sum a*b)² - 4abc(a+b+c)

\sum a² = -2 \sum a*b


\sum a^4 = (\sum a²)²/2 = 2016032

slt tt le monde
solution postée
voici la solution de mni
on pose a=2008
S=a°4+b°4+c°4
A=(ab)°2+(bc)°2+(ac)°2
R=a+b+c

on a
a°4+b°4+c°4+2A=a°2

S=a°2-2A

AB+BC+AC=-a/2

donc apres des calcules on deduit que

A= a°2/4

<==> S=(a°2)/2
S=2016032

Bonjour et bonne année à tous.

Solution postée
solution de hamzaa
Pour la résolution de l'exercice, on va remplacer c par -(a+b).
On trouve alors 2008=a²+b²+(a+b)² donc a²+b²+ab=1004.

De même S=a^4+b^4+(a+b)^4
En développant, on obtient:
S=2(a^4+b^4+3a²b²+2a^3b+2ab^3)
Or (a²+b²+ab)²=a^4+b^4+3a²b²+2a^3b+2ab^3 (simple vérification).

Donc: S=2*1004²

Ce qu'on peut vérifier en donnant des valeurs à a, b et c.
Par exemple a=-b=rac(1004) et c=0.

slt e bonne année

**solution postée**
voici la solution de ** Int-Girl **
a+b+c= 0 <=> (a+b+c)^2=0
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab+2bc+2ac=0 e on c ke a^2 +b^2 +c^2= 2008
<=> ab+ac+bc = -1004
<=> (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2 abc( a+b+c)= 1004 x 1004
<=> (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 = 1004 x 1004

( a^2 +b^2 +c^2 )^2 = a^4+ b^4 + c^4 + 2(ab)^2 + 2(ac)^2 + 2(bc)^2 = 2008 X 2008
= a^4 + b^4 + c^4 + 1004 x 1004 =2008 X 2008

dou a^4 + b^4 + c^4= 3024048

Salut tout le monde
solution postée
solution badr_210
voiçi la solution de badr_210
on a : a+b+c=0 => (a+b+c)²=0
=>a²+b²+c²=-2(ab+ac+bc)
=>ab+ac+bc=-1004

d'autre part on a : (a²+b²+c²)²=a^4+b^4+c^4+2(a²b²+a²c²+b²c²)
<=>a^4+b^4+c^4=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+a²c²+b²c²)

et on a aussi : (ab+ac+bc)²=a²b²+a²c²+b²c²+2abc(a+b+c)
1008016 =a²b²+a²c²+b²c²
d'ou :a^4 +b^4 +c^4=2008²-2*1008016
=4032064-2016032
=2016032

solution postee par mp

(solution non trouver )

Solution postéé
voici la solution de neutrino
a+b+c=0 , a²+b²+c²=2008

(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = a^4+b^4+c^4+ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)=A

A= a^4+c^4+c^4+(a²+b²+c²)(ab+ac+bc)-abc(a+b+c)

A= a^4+c^4+c^4+(a²+b²+c²)(ab+ac+bc)

or 2(ab+ac+bc)= (a+b+c)²-(a²+b²+c²) , et puisque A=0 ==> ..reste à faire les calculs

salut,solution postée.
solution de boujharfane radouane
on a a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a²b²+b²c²+c²a²)
=(a^2+b^2+c^2)^2-2((ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c))

or (a+b+c)^2=2(ab+bc+ca)+a²+b²+c² ce qui implique que ab+bc+ca=1004.
d'où a^4+b^4+c^4=2008²-2*1004²=2*2004².cqfd

Bonjour!
Solution postée!
solution de kendor
(a²+b²+c²)²=a4+b4+c4+2(a²b²+a²c²+b²c²)

=S+2(a²b²+a²c²+b²c²)

=2008²



(ab+ac+bc)²=a²b²+a²c²+b²c²+2(a²bc+b²ac+c²ab)

= a²b²+a²c²+b²c²+2abc (a+b+c)

= a²b²+a²c²+b²c²



(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)

=2008+2(ab+ac+bc)

=0

Donc ab+ac+bc=-2008/2



Finalement S=2008²-2(a²b²+a²c²+b²c²)

=2008²-2(ab+ac+bc) ²

=2008²-2(-2008/2)²

=2008²(1-2/4)

=2008²/2



Donc S=2008²/2=2 016 032.

Kendor

Bonjour et Bonne année à tous
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
a^4+b^4+c^4=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+a²c²+b²c²)
et (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=a^4+b^4+c^4-2(a²b²+a²c²+b²c²)=0
==> 2(a^4+b^4+c^4)=(a²+b²+c²)² ==> a^4+b^4+c^4=1004*2008
A+
Boone année
A+

solution postée
voici la solution de mohammed01_01
(a²+b²+c²)²=a^4+b^4+c^4+2(a²b²+b²c²+c²a²)
===>a^4+b^4+c^4=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+b²c²+c²a²)
=2008²-2(a²b²+b²c²+c²a²)
a+b+c=0==>2008=a²+b²+c²=-2ab-2ac-2bc

et on a (ab+bc+ac)²=a²b²+b²c²+c²a²+2acb(a+b+c)=a²b²+b²c²+c²a² donc
a²b²+b²c²+c²a²=(2008/2)²

donc S=a^4+b^4+c^4=2008²-2*(2008/2)²=2008²/2

slt
solution postée
voici la solution de cdf88
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2*(ab+ac+bc)=0
d'ou : (ab+bc+ac)=-1004 ==>(ab+bc+ac)^2=(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2*abc(a+b+c)=1008016
donc (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=1008016
or a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2*((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)=(2008)^2-1008016
et donc : a^4+b^4+c^4=4559264

solution postée
voici la solution de mhdi
a²+b²+c²=2008 => (a²+b²+c²)²=2008² => a4 + b4 + c4+2(ab)²+2(ac)²+2(bc)²=2008² (1)

Calculer 2(ab)²+2(ac)²+2(bc)²

a+b+c=0 => (a+b+c)²=0 => a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0
Puisque a²+b²+c²=2008, on obtient : 2ab+2bc+2ac= -2008
=> ab+bc+ac= -1004 => (ab+bc+ac)²=1004²
=> (ab)²+ (ac)²+ (bc)²+2ab*bc+2ac*bc+2ab*ac=1004²
=> (ab)²+ (ac)²+ (bc)²+2abc(a+b+c)= 1004²
Et comme a+b+c=0, (ab)²+ (ac)²+ (bc)²= 1004² => 2(ab)²+2(ac)²+2(bc)²= 2*1004² (2)

De (1) et (2), on obtient a4 + b4 + c4+2*1004²=2008²
D’où S= a4 + b4 + c4 =2008²-2*1004²=1004²(4-2)= 2*1004²

bonjour,
solution postée.
solution de callo
S=(a²+b²+c²)² - 2(a²b² +b²c² +a²c²)
on sait que a+b+c=0 donc a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=0
alors ab+ac+bc = -1004
d'ou a²b² + b²c² + a²c²+2abc(a+b+c)=1004²
on deduit que a²b²+ b²c² + a²c²=1004²

donc S=2008² - 2*1004²

Bonsoir

Solution Postée
solution de coucou
On a (a²+b²+c²)² = a^4 + b^4 + c^4 +2(a²b²+a²c²+b²c²)
et (ab+ac+bc)²=a²b²+c²b²+c²a²
De plus (ab+bc+ac)²=(-(a²+b²+c²)/2)²

Alors a^4+b^4+c^4=2008²-2*(-2008²/2)=2008²-(2008²/2)
Donc conclure que a^4+b^4+c^4=2008²/2

@+

solution postée
solution de pivot gauss
( a² +b² +c² )² = a^4 + b^4 + c^4 + 2a²b² + 2a²b² + 2b²c²
==> a^4 + b^4 + c^4 = ( a² +b² +c² )² -2( a²b² + a²c² + b²c² ) = 2008² -2( a²b² + a²c² + b²c² )
or 0 = ( a +b +c)² = a² + b² + c² + 2(ab +ac +bc) ==> -(a² + b² +c²) = 2(ab +ac +bc)
==> ( a² +b² +c² )² = 4(a²b² + a²c² + b²c²) + 8a²bc + 8ab²c + 8abc²
= 4(a²b² + a²c² + b²c²) + 8abc(a + b + c) = 4(a²b² + a²c² + b²c²)
car a + b + c = 0
donc a²b² + a²c² + b²c² = ( a² +b² +c² )² / 4 = 2008² / 4
par suite a^4 + b^4 + c^4 = 2008² -2( 2008² / 4) = 2008² - 2008² / 2

a^4 + b^4 + c^4 = 2016032

slt tt le monde
solution postée
voici la solution de jimmy321j'ai trouvé a^4+b^4+c^4=0
@+