problème N°114 de la semaine (31/12/2007-06/01/2008)

SOLUTION POSTEE
voici la solution de badr
d'apres les identite remarquable on a
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
(a²+b²+c²)²=a^4+b^4+c^4+2(a²b²+a²c²+b²c²)
et on a meme

(ab+ac+bc)²=a²b²+b²c²+a²c²+2abc(a+b+c)

a²b²+b²c²+a²c²=-(ab+ac+bc)²

(ab+bc+ac)²={(a+b+c)²-a²+b²+c²}²/4={2008)²/4

donc ( a²b²+b²c²+a²c²)=-{2008)²/4

(a²+b²+c²)²-2(a²b²+a²c²+b²c²)=a^4+b^4+c^4

a^4+b^4+c^4={2008}²+2{2008²/4}=2008²*{3/2}

a^4+b^4+c^4=((2008^2) * 3) / 2 = 6 048 096

solution postée
voici la solution de hic
a+b+c=0
(a+b+c)²=0
a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=0
on a
a²+b²+c²=2008
alors
2008+2(ab+ac+bc)=0
ab+bc+ac=-1004
alors
(ab+ac+bc)²=1004²
(ab)²+(ac)²+(bc)²+2abc(a+b+c)=1004²
on a a+b+c=0
alors
(ab)²+(ac)²+(bc)²=1004²
ona
a²+b²+c²=2008
alors
(a²+b²+c²)²=2008²
a^4+b^4+c^4+2((bc)²+(ac)²+(ab)²)=2008²
donc
a^4+b^4+c^4+2*(1004)²=2008²
a^4+b^4+c^4=2008²-2*(1004)²
a^4+b^4+c^4=2016032

Débutant Nombre de messages : 2 Date d'inscription : 26/07/2007

salut les matheurs, solution posté par zed

voici la solution de zed
Faisons apparaître les coefficients a4,b4,c4 appartire de (a2+b2+c2)2 : on a
(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)
D’autre part on a :
a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2(a2bc+ab2c+abc2)
Or (a2bc+ab2c+abc2) =abc(a+b+c)=0
Donc a2b2+ b2c2+c2a2=(ab+bc+cd)2
Et comme (a+b+c)2=0 car a+b+c=0 ,
ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)/2
Donc a2b2+b2c2+c2a2=(a2+b2+c2)2/4
D’où (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+(a2+b2+c2)2/2
Ce qui veut dir que a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2/2
i.e. S=a4+b4+c4=20082/2=2016032

Féru Nombre de messages : 40 Age : 34 Date d'inscription : 12/11/2007

solution postée
voici la solution de amine_b
problème N°114 de la semaine (31/12/2007-06/01/2008) - Page 2 Amine_10

Sujet: Re: problème N°114 de la semaine (31/12/2007-06/01/2008)

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