problème N°121 de la semaine (18/02/2008-24/02/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
voici la solution de ThSQ
n! < ((n+1)/2)^n par l'inégalité entre moyennes et n! < n^n

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
t --> ln(t) est strictement concave sur ]0,+00[
==> ln((1^3+2^3+...+n^3)/n)> (ln(1^3)+ln(2^3)+...+ln(n^3))/n
==> ln(n(n+1)²/4)) > 3 (ln(1)+ln(2)+...+ln(n))/n
==> n^n((n+1)/2)^(2n) > (n!)^3
A+

solution postée
voici la solution de joystar
on a :
[(n+1)/2]^n=[(n+n-1+n-2+...1)/n]^n>n!(am_gm,inegalité stricte car n>n+1>..1)
ainsi [(n+1)/2]^2n>n!^2 (1)
d'autre part n^n=n*n*...n(nfois)>n(n-1)..1=n! (2)
en multipliant 1 et 2 on obtien le resultat

solution postée
voici la solution de neutrino

dans la ligne 3 et 4 j'ai utilisé l'IAG
et la dernière inégalité est vraie , car :

(sauf erreur de ma part)

A+

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
La fct ln est concave sur ]0,+oo[====> ln [1/n*sum_k=1^n{k^3}>1/n*sum_k=1^n{ln(k^3)}

=====>n*ln[1/n*[n(n+1)/2]^2] > sum_k=1^n{ln(k^3)}
=======>[n[(n+2)/2]^2]^n > pdt k=1^n{k^3}
=======>n^n[(n+1)/2]^{2n} > ( n!)^3

solution postéé
voici la solution de mni
ona dapres IAG
(1+2+3+.........n)°n /n°n>=1*2*3*4*......n
==>(n(n+1)/2))°n/n°n>=n!
==>((n+1)/2)°n>=n!
==>((n+1)/2)°2n>=(n!)°2
on a n>=1 donc n>=(n+1)/2
n>1==>n°n>=((n+1)/2)°n>=n!

==>n°n * ((n+1)/2)°n >=(n!)°3

solution postée par e-mail !!!!!!!!

solution postée !!!!!!!
(solution non trouver)

solution postee
voici la solution de memath
on a :

d ou le resultat
cardialement

pour n=1 on a pas l'inegalite