problème N°129et N°130 de la semaine (14/04/2008-27/04/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée Par Mp
solution non trouver
A+

solution posté
solution non trouver

solution postée par e-mail !!!!!!!!!!!
@+

solution postée
voici la solution de memath
on a :
a(a+1)=b+1
b(b+1)=c+1
c(c+1)=a+1

donc en multipliant : abc(a+1)(b+1)(c+1)=(a+1)(b+1)(c+1) ==> abc=1

et en sommant : a²+b²+c²=3
par AM-GM : a²+b²+c² >= 3(a²b²c²)^(1/3)=3 avec egalité si et seulement si a=b=c
donc a=b=c=1ou-1 et les seuls solutions sont (1.1.1) et (-1.-1.-1)
PS : et pour le cas ou a+1 ou b+1 ou c+1 sont nul c est trivial

solution postée
voici la solutrion de rachid 18
En sommant toutes les égalités on trouve que : a²+b²+c²=3,
Et on a a(a+1)=b+1
Et b(b+1)=c+1
Et c(c+1)=a+1
En multipliant ces égalités on trouve que :
(A)a=-1, b=-1 ou c=-1,
Alors l’ensemble de solutions première est (-1,-1,-1); (-1,-1,-1); (-1,-1,-1),
(B)Ou abc=1,alors on doit trouver les solutions du système dans ce cas,
On sait que: x²+y²+z² >=3V’x²y²z² (V':racine cubique) avec égalité si x²=y²=z²,
Puisque a²+b²+c²=3V’a²b²c² alors a²=b²=c²,
En remplaçant dans les égalités et faisant leurs différence deux à deux on trouve que :
.a+b=2c ; b+c=2a ; a+c=2b,
Alors a=b=c,
alors puisque a²=b²=c²,et a=b=c alors ==> a,b,c>=0 dans ce cas,
et on a a²+b²+c²=3 alors a=1,b=1 ou c=1,
alors l’ensemble de solutions dans ce cas est (1,1,1);(1,1,1); (1,1,1),
==>les solutions du système sont (A) U (B) qui sont:
(-1,-1,-1); (-1,-1,-1); (-1,-1,-1), (1,1,1);(1,1,1); (1,1,1).

Solution postée (MP)
solution non trouver

Bonjour
solution postée
On peut supposer que a>=b>=c.
a²+b²+c²=3 ==> 1>=c
==> a=c²+c-1=<c ==> a=b=c ==> a=b=c=1 ou a=b=c=-1
Inversement, les triplets (1,1,1) et (-1,-1,-1) sont bien solutions.


N.B. même chose que le pb N°82
A+