problème N°119 de la semaine (04/02/2008-10/02/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution postéé
voici la solution de neutrino
x^4+y^4+z^4= (x+y+z)(x^3+y^3+z^3) -xy(x²+y²)-yz(y²+z²)-xz(x²+z²)
= (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)-(x²+y²+z²)(xy+yz+xz)+xyz(x+y+z)

or (x^3+y^3+z^3)= (x+y+z)(x²+y²+z²)-(x+y+z)(xy+yz+xz)+3xyz

et x²+y²+z²= (x+y+z)²-2(xy+yz+zx) ==>...

solution postée
voici la solution de memath

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor.
S1=x+y+z≠0
S2=xy+yz+zx

S1²=x²+y²+z²+2S2
S1 et S2 étant rationnels, A= x²+y²+z² l’est aussi.

A²=x4+y4+z4+2(x²y²+y²z²+z²x²)

Or S2²= x²y²+y²z²+z²x²+2xyz(x+y+z)

Donc x4+y4+z4=A²-2(S2²-2xyzS1)
=A²-2S2²+4xyzS1
A, S2 et S1 sont rationnels avec S1≠0
Donc si x4+y4+z4 est rationnel, alors 4xyzS1 l’est aussi.
Donc l’est aussi.

Si xyz est rationnel, alors x4+y4+z4=A²-2S2²+4xyzS1 l’est aussi.

Donc x4+y4+z4 est rationnel si et seulement si xyz est rationnel.

solution postée
voici la solution de mni
une simple ecriture de x°4+y°4+z°4 en fonction de x+y+z et xyz et xy+yz+zx permettra de resoudre cette exercice
on note
A=x+y+z
B=xy+yz+zx
C=x°4+y°4+z°4

apres des calculs on deduit que
C=(A°2-2B)°2 -2B°2+4xyzA

cas1 xyz=a/b (a;b) £ (N*(N-0))
A=m/n (m;n) £ (N*(N-0))
B=r/s (r;s) £ (N*(N-0))

on deduit que C=p/k (p;k) £ (N*(N-0))
pet k secrivent sous la forme de a; b m n r s
donc C est un nombre rationnel

cas 2 xyz ne secrit po sous la forme de a/b (a;b) £ (N*(N-0))on pose

P=x+m/n (m;n) £ (N*(N-0))

x ne secrit po sous la forme de a/b
on suppose que P =r/s (r;s) £ (N*(N-0))
==>x= (r n-ms)/ns
==>x secrit sous la forme de a/b ABSURDE
donc P ne secrit po sous la forme de a/b quand x ne secrit po sous la forme de p/s

de la mm facon on demontre que P=xa/b ne secrit po sous la forme de u/m si x nest po rationnel

on aplique ces deux lois dans notre cas et on distingue que C nest po rationnel quand xyz nest po rationnel

DEDUCTION
C est rationnnel si seulement si xyz est rationnel

Slt
"solution postée"

voici la solution de badr_210
on a ^4 +y^4 +z^4=(x²+y²+z²)²-2[(xy)²+(xz)²+(yz)²]

or : x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)

et : [/b](xy)²+(xz)²+(yz)²=(xy+xz+yz)²-2(x²yz+y²xz+z²xy )
=(xy+xz+yz)²-2[xyz(x+y+z)]
d'ou : x^4 +y^4 +z^4=[(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)]²-2[(xy+xz+yz)²-2[xyz(x+y+z)]]

[b]ET maintenant on peut déduire que x^4 +y^4 +z^4 est rationnel si et seulement si xyz est rationnel

solution posté par e-mail !!!

solution postée !!!!!
voici la solution d'amine

Solution postee .
voici la solution d'abdelilah
On a
$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)$ ainsi
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \in \mathbb{Q}$ et encore
$(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=x^{4}+y^{4}+z^{4}+2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$
d'ou $x^{4}+y^{4}+z^{4} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow
x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\in \mathbb{Q}$ Mais encore une
fois
$(xy+yz+zx)^{2}=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2(x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}).$
Ce qui donne que $x^{4}+y^{4}+z^{4} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow
x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}\in \mathbb{Q}.$ Mais $x^{2}yz,xy^{2}z$ et
$xyz^{2}$ sont proportionnel au $x,y$ et $z$ (ces derneirs peuvent
\^etre pris tous non nuls - si l'un d'eux est nul, lexo deviens
plus facile-)

ce qui donne que $xyz=\frac{x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}}{x+y+z}, x+y+z \neq 0.$\\
Ce qui donne les equivalence $x^{4}+y^{4}+z^{4} \in \mathbb{Q}
\Leftrightarrow xyz\in \mathbb{Q}.$

solution postée
voici la solution de joystar1

on a :(S1)^4=(x+y+z)^4=(x²+y²+z²+2(S2))²=(S3)+4(S2)²+4(S2)*((S1)²-2(S2))+2(x²y²+y²z²+z²x²)
==>(S3)=(S1)^4+4(S2)²-4(S2)(S1)²-2((S2)²-2(xy²z+yz²x+x²yz)
==>(S3)=(S1)^4+2(S2)²-4(S2)(S1)²+4xyz(S1)

d'après l'equation qui precede (S3)rationnel<==>xyzrationel(Q est stable par addition et multiplication et S1,S2 rationnel et S1non nul)