Problème de la semaine N°160 (17/11/2008-23/11/2008)

salut
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SOLUTION POSTéE .
Problème de la semaine N°160 (17/11/2008-23/11/2008)



NOTATION
<==> a est divisible par b.
Preuve
Supposons qu ' aucun des nombres de l'ensemble n'est divisible sur .
Si et ont le méme résidu par division sur donc .
Ce qui veut dire que , par suite , contradiction!.
et puisqu'il y a nombres, il donneront tous des résidus différents mod , à l'exeption de .
cela veut dire que:. C-a-d , par conséquent. à l'aide de Fermat, , donc , contradiction!.
donc il y a au moins un nombre de l'ensemble qui a le résidu 0 et par suite il est divisible par .
CQFD.

Solution postée
On a l'indicateur d'Euler de 2k+1 , phi(2k+1) vérifie 1=<phi(2k+1)=<2k
Car phi(2k+1)=le nombre des éléments inversibles de Z/(2k+1)Z.
car 2 est inversible et 0 n'est pas inversible
Par le théorème de Fermat, 2^(phi(2k+1))=1 [2k+1] d'où le résultat.
A+