Problème de la semaine N°158-159 (03/11/2008-16/11/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
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Merci

Solution postée
Salut :
Soit E={a,b,c,d,e} regardons leurs classes d'equivalence mod(3) ,
il y'a trois classes a savoir 0,1,2.
E contient 5 élment .
S'il ya trois elements ayant la mm classe alors le pb est résolu,
sinon au moins deux élèments ont la meme classe , mettons les a part dans le paquet (1) , si les trois elements restants sont distincts ( les classes ! ) alors leurs sommes est =0mod(3) et c'est ce qu on cherche , sinon il ya deux elemnt ayant la mm classe metons les dans le paquets (2) et le troisieme a une classe distincte ( metons le dans un autre paquet (3) ) de celle des deux nbr mis a part au debut et les deux mis a part en fin du jeu choisissons alors un elemnt et un seul de chacun des ces paquet .
a+
a+

solution postée
Bonjour
Soit A l'ensemble des quelconques 5 entiers.
Pour r=0,1,2 on note n_r le nombre des entiers de A congrus à r modulo 3.
Si n_r>=3 , pour au moins un r , alors on choisira 3 entiers congru à r.
Si n_r=0 , pour au moins un r, alors l'un des 2 autres >=3 et c'est ok
Il reste le cas où 0<n_r<3 pour tout les r, on choisira alors 3 entiers
chacun congru à r modulo 3.

N.B. La généralisation est possible ! Parmi 2n-1 entiers on peut choisir n dont la somme est multiple de n. La démonstration est quasi-semblable.

solution postée

sollution postée

(Omar Ibn Abdelaziz 4 ever )

etant donné les 5 entiers ai , i={1.2..5}

sois r le reste de la division euclidienne de ai par 3.

on a deux chose sois r=1 sois r=2

suite au principe des tiroirs on a au moins [5/2]> qui ont le meme reste.

donc il existe i,j et k de {1.2.3.4.5} tel que ai=3b+r

aj=3b'+r et ak=3b"+r

donc ai+aj+ak=3(b+b'+b"+r) qui est bien divisible par 3

ps: on procede de meme pour le cas general

solution postée

Solution postée :

Solution postée
on prend les classes d'équivalences modulo 3
selon le principe des tiroirs , il y'aura au moin 3 nombres dans la mème classe