problème N°127 de la semaine (31/03/2008-06/04/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

On suppose que les boules sont différentes ? Sinon je vois pas pourquoi le nombre de tirages dépend de a ...

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.Attioui
Bonjour
On note C(a,b) le coefficient binômial.
le nombre de tous les tirages possibles est : (2a+1)^n.
Pour tout i de 0 à n, le nombre de tirages donnant exatement i blanches est :
C(i,n).a^i.(a+1)^(n-i). En effet,
a^i.(a+1)^(n-i) est le nombre de cas où on l'on tire i blanches
parmi a et n-i noires parmi a+1 et on multiplie par C(i,n) qui est
exactement le nombre de répartitions possibles.
==> le nombre de tirages donnant un nombre pair de boules blanches est :
N=somme(i=0 à n , i pair )C(i,n).a^i.(a+1)^(n-i)
Soit M=somme( i=0 à n, i impair) C(i,n).a^i.(a+1)^(n-i)
==> M+N=(2a+1)^n et N-M= somme( i=0 à n)C(i,n).(-a)^i.(a+1)^(n-i)=1
==> 2N=1+(2a+1)^n
A+

Complément :
Pourquoi qqs n>0, N : le nombre de tirages donnant un nombre pair de blanches > à M: celui donnant un nombre impair de blanches ? Précisement on a N=M+1

abdelbaki.attioui a écrit:

Complément :
Pourquoi qqs n>0, N : le nombre de tirages donnant un nombre pair de blanches > à M: celui donnant un nombre impair de blanches ? Précisement on a N=M+1

D'accord !!
Mais il y a aussi quelquechose de FONDAMENTAL , c'est la composition de l'urne ( a BB pour (a+1) BN ) !!
Imaginez que :
Nbre de BB=a et Nbre de BN=a-1 par exemple !!!!
Auquel cas on aurait N=M-1 .....

abdelbaki.attioui a écrit:

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.Attioui
Bonjour
On note C(a,b) le coefficient binômial.
le nombre de tous les tirages possibles est : (2a+1)^n.
Pour tout i de 0 à n, le nombre de tirages donnant exatement i blanches est :
C(i,n).a^i.(a+1)^(n-i). En effet,
a^i.(a+1)^(n-i) est le nombre de cas où on l'on tire i blanches
parmi a et n-i noires parmi a+1 et on multiplie par C(i,n) qui est
exactement le nombre de répartitions possibles.
==> le nombre de tirages donnant un nombre pair de boules blanches est :
N=somme(i=0 à n , i pair )C(i,n).a^i.(a+1)^(n-i)
Soit M=somme( i=0 à n, i impair) C(i,n).a^i.(a+1)^(n-i)
==> M+N=(2a+1)^n et N-M= somme( i=0 à n)C(i,n).(-a)^i.(a+1)^(n-i)=1
==> 2N=1+(2a+1)^n
A+

hhhhhhh meme idee