problème N°125et N°126 de la semaine (17/03/2008-30/03/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
Comme les coefficients de P sont positifs, alors toutes les racines de P sont négatives . Soit P(x)=(x+x_1)...(x+x_7) avec les x_i>0 et x_1...x_7=1.
==> Pour tout x>=0 , P(x)>=P(0)=1
Pour tout x>0, soit f(t)=ln(x+e^t), f est convexe
car f'(t)=e^t/(x+e^t) et f''(t)=xe^t/(x+e^t)²>0.
On a alors ln(P(x))=f(ln(x_1))+...+f(ln(x_7))>=7f((ln(x_1)+...+ln(x_7))/7)
=7f(0)=7ln(x+1)
==> P(x)>=(x+1)^7
En particulier, P(2)>=3^7=2187>2008
A+
A+

solution postée
voici la solution de memath
Bonjour,



Les racines de P sont alors strictement négatives.


Ainsi P se factorise en P =(X + a1) *(X +a2)*...(X+a7) , les ai positifs.



Soit D l' ensemble des 7-uplets de réels positifs dont le produit vaut 1.


soit f la fonction de D dans R telle que:

f(x1...x7) = (2 + x1)(2 + x2) ...(2 + x7).



Le minimum de cette fonction sur D est atteint lorsque tous les xi sont égaux à 1 et est égal à 3^7 qui est supérieur à 2008.


Amicalement.

Bonne journée !
Reponse postée
voici la solution de selfrespect
salut/
Soit P un tel polynome, les coeficients de P sont tous reels >0 =+> P'>0 et donc P croissante ==>P(x)>=P(0)=1 sur R+, donc si P admet des recines réels alors ils seront immédiatement negatifs notons les x1,x2,x3,x4,x5,x6,x6.
on a P unitaire ==>P(x)=Prod{(x-xi)}
on a (x-x1)(x-x2)=x²+(-x1-x2)x+x1x2>=x²+2rac(x1x2)+x1x2=(x+rac(x1x2))²
de mm les autres inegalité on obtient:
P(x)>=[(x+rac(x1.x2))(x+rac(x3.x4))(x+rac(x5.x6))]²(x-x7)>=[(x+rac(x1.x2.x3.x4))²(x+rac(x5.x6))]²(x-x7)
on refais la mm procedure on obtient enfin (x)>=(x-(x1.x2.x3.x4.x5.x6.x7))^7 or prod(xi)=-1 alors P(x)>=(x+1)^7 et donc P(2)>=3^7>2008,
Rq: ce resultat peut etre resolu en remarquant que si P =Sum_{k=0,...n= ak x^k un polynome R _scindé alors ak.a(k+1)=<(ak)^2 mais c est un autre probleme !
@+

salut !
solution postée
solution non trouver