Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
solution non trouver

Solution postée
solution non trouver

postée
par symetrie de role on supose que x1>=x2>=x3>=x4
donc 1/x1=<1/x2=<1/x3=<1/x4

donc:

(1+1/x1)(1+1/x2)(1+1/x3)(1+1/x4)=5=<(1+1/x4)^4

donc 1/x4>1/2 donc x4<2 donc x4=1

on recommence :

(1+1/x1)(1+1/x2)(1+1/x3)(1+1)=5=<2(1+1/x3)^3

donc x3<3 donc x3=2 ou x3=1

si x3=2 donc : (1+1/x1)(1+1/x2)(1+1/2)(1+1)=5=<3(1+1/x2)^2

donc x2<4 et donc x2=3 ou x2=2 ou x2=1

et pour chaque valeur on trouve : x1=4 ou x1=9

si x3=1 (1+1/x2)²>=5/4 donc x2=<9 ..... ect

on trouve les 4-uplets :

(x1.x2.x3.x4)={(4.3.2.1),(9.2.2.1),(8.9.1.1),(14.6.1.1),(24.5.1.1)} avec permutations en xi bien entendu !!

Solution postée
Bonjour.
Je note les x_i par a,b,c et d
La symétrie des rôles permet de supposer que 1=<a=<b=<c=<d.
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5=<(1+1/a)^4 ==> a=< 1/(5^(1/4)-1)<3. Donc 1=<a=<2.

Si a=2, alors 3(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=10 =< 3(1+1/b)^3
==> 2=<b=<1/((10/3)^(1/3)-1)<3. Donc b=2.
==> 9(1+1/c)(1+1/d)=20 =< 9(1+1/c)²==> c=< 1/((20/9)^(1/2)-1)<3. Donc c=2.
==> 27(1+1/d)=40 ==> 1/d=13/27 ==> d non entier. Donc a=1.

2(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5=< 2(1+1/b)^3
==> 1=<b=<1/((5/2)^(1/3)-1)<3. Donc 1<=b=<2.

Si b=2==> 3(1+1/c)(1+1/d)=5 =< 3(1+1/c)²==> 2=<c=< 1/((5/3)^(1/2)-1)<4. Donc 2=<c=<3.
Si c=2, alors 9(1+1/d)=10 ==> d=9
Si c=3, alors 4(1+1/d)=5 ==> d=4

Si b=1 ==> ..... ( même technique)

Les solutions sont : (1,2,2,9), (1,2,3,4) , (1,1, 8,9) , (1,1, 6,14), (1,1, 5,24)et leurs permutations.

A+

solution postée
On a (1+1/x1) (1+1/x2) (1+1/x3) (1+1/x4) = 5

Donc on peut y conclure que x1=x2=x3=x4

C.-à-d. (1+1/x1)=√√5

Donc 1/x1=√√5-1

Alors x1=1/ (√√5-1)

Enfin x1=x2=x3=x4=1/ (√√5-1)