problème N°123 de la semaine (03/03/2008-09/03/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
solution non trouver

solution postee
voici la solution de memath

solution postée

solution postée !!!!!

solution posteeee
on montre que cos(5a)=16cos^5a-20cos^3a+5cosa
consideron la fonction
f(x)=16x^5-20x^3+5x+1=(x+1)(4x²-2x+1)²
f s annulle lorsque x=-1 x=(1+racine(5))/4 x=(1-racine(5))/4
alors cos PI /5=(1+racine(5))/4

on va utiliser la formule de trigo. cos(2A) = 2 (cosA)² - 1 en prenant A=

On obtient ainsi

C'est à dire

Donc

Donc

puis on va deduir le resultat

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de kendor
Soit x=sin (π/10) et y=cos (π/10)

π/10=π/2-2π/5
Donc x=cos (2π/5) et y=sin (2π/5)

Soit z=x+iy
Alors z^5=1
Donc 1+z+z²+z³+z^4=0
Donc 1+2cos (2π/5) +2cos (4π/5)=0
Donc 1+2x+2(2x²-1)=0
Donc 4x²+2x-1=0

∆=20
Donc x= (-2+√20)/8= (√5-1)/4

y=√ (1-x²)
=√ (1-(6-2√5)/16)
=√ ((10+2√5)/16)
=√ (10+2√5)/4.

Donc x=sin (π/10)= (√5-1)/4
Et y=cos (π/10)=√ (10+2√5)/4.
Ciao!A+

Kendor

Bonjour,
solution postee .
voici la solution d'abdeilah
On a cos(5x)=16*cos(x)^5-20*cos(x)^3+5*cos(x)
par resolution de
16*x^5-20*x^3+5*x = x*(16*x^4-20*x^2+5)
dont les solutions sont

0, -1/4*\sqrt(10+2*\sqrt{5}), 1/4*\sqrt(10+2*\sqrt{5}),
-1/4*\sqrt(10-2*\sqrt{5}), 1/4*\sqrt(10-2*\sqrt{5})


et puisque cos(5x)=0
<===> x=\pm \frac{\pi}{10}+\frac{2k \pi}{5} (\pm veut dire + ou - )

par ordres de ces solutions on a cos(\frac{\pi}{10}) est la plus grande des solutions donc = a 1/4*\sqrt(10+2*\sqrt{5})

et par sin(\frac{\pi}{10})>0 et sin^2 +cos^2 x = 1 on trouve

sin(\frac{\pi}{10})=1/2*\sqrt(4-\sqrt(10+2*\sqrt{5}))


Remarque: on pourra se poser la question: construire un angle dont la mesure est \frac{\pi}{10}.

Abdelilah
a+

Bonsoir

Solution postée

voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

On a :**sin(4pi/10)= cos(pi/10)
d'autre part **sin(4pi/10)=2sin(2pi/10)cos(2pi/10) = 4 sin(pi/10)cos(pi/10)cos(2pi/10)

======>4sin(pi/10)cos(2pi/10) = 1
======>4sin(pi/10)[1-2sin²(pi/10)] =1 (E)
Posons: t= sin(pi/10) > 0
(E) <===>8t^3-4t+1=0
<====>(t-1/2)(8t²+4t-2)=0
<======>4t² +2t-1 =0 (t # 1/2)
<=====>sin(pi/10) = t = (-1+rac5)/4
=====>cos(pi/10) = rac(10+2rac5)/4 (cos (pi/10) > 0 )

salotion postée
solution non trouver

solution postée
voici la solution de L
tout dabord on calcule cos pi/10
on calcule cos 5 pi/10=cospi/2=0
dautre part on sait que cos5x=cosx(16cos^4x-20cos²x+5)
on applique ona alors cospi/10=0ou 16cos^4pi/10-20cos²pi/10+5=0 la premiere impossible on pose X=cos²pi/10 et on resoud l'equation
X=20-rac80/32 impossible car X>0 donc cospi/10=rac(20+rac80/32)
dautre part sinpi/10=rac(1-rac(20+rac80/32))
j'espere que c'est correct