problème N°117 de la semaine (21/01/2008-28/01/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
voici la solution d'Adam



Démontrons le théorème de Pierre Varignon



Posons : AB = a , BC = b , DC = c et AD = d

A’B = AA’ = x = a/2 , BB’ = B’C = y = b/2 , CC’ = C’D = z = c/2 , DD’ = D’A = t = d/2

on a S(ABCD) = S(A'B'C'D') + S' + S'' + S''' + S'''' avec :

S'''' = S(A’BB’) et S''' = S(B’CC’) et S'' = S(CDD’) et S' = S(D’AA’)

Et on a
S(ABCD)
= ( ab.sinB + cd.sinD)/2
= ( bc.sinC + ad.sinA)/2

= ( 4xy.sinB + 4zt.sinD)/2
= ( 4yz.sinC + 4tx.sinA)/2

= 4 (S' + S'' ) = 4 ( S''' + S''' )

donc
S(ABCD) = 2( S' + S'' + S''' + S'''' ) d'où S(A’B’C’D’) = S(ABCD) / 2

Solution postée
voici la ,solution de ThSQ
Vraiment pas simple à expliquer sans dessin.
C'est une application du théorème des milieux dans un triangle :
* le petit quadrilatère joignant les milieux des côtés est un parallélogramme
* trace les deux diagonales du grand quadrilatère
* l'aire du bout de parallèlogramme qui est d'un côté d'un diagonale est la
moitié de l'aire du grand triangle dans lequel il est.

Au total : l'aire du parallèlogramme = 1/2 Aire du quadrilatère.

solution postée
voici la solution de neutrino

Soit S la surface de ABCD, ona :

S = S(ABD) +S(BCD)
= 1/2 ( AD*AB*sinA +BC*DC*sinC)
mais aussi : S= S(ABC)+S(ADC)
= 1/2 ( AB*BC*sinB +AD*DC*sinD)

<=> 2S = 1/2 (AD*AB*sinA +BC*DC*sinC +AB*BC*sinB +AD*DC*sinD)
<=> S= 1/4 [ AD*AB*sinA +BC*DC*sinC +AB*BC*sinB +AD*DC*sinD]

Soit S' la surface de A'B'C'D' , ona donc :
S' = S- 1/2 * [ 1/4 (AD*AB*sinA) + 1/4 (BC*DC*sinC) +1/4 (AB*BC*sinB) + 1/4 (AD*DC*sinD) ]
enfin : S'=S-S/2 = S/2 (sauf erreur )
A+

ENvoyé
voici la solution de rockabdel
Puisque A', B', C', et D' sont les milieux respectifs de AB, BC , CD , AD donc

A'B'=D'C'=1/2 AC
A'D'=C'D'=1/2 BD
( En vecteur)

donc A'B'C'D' est un parallelograme dou

S'=C'D'*C'B'*sin(a)
avec a= l'angle entre A'B' et C'B'

soit b langle entre AC et BD dapres la premiere relation on a:
a=b ( chaque deux vecteurs sont colineaire)

donc S'=4 AC*BD*sinb=4*S

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
L'image du triangle (ABD) par l'homothétie de centre A et de rapport 1/2
est le triangle (AA'D'), donc Aire(AA'D') = Aire(ABD)/4.
De même, Aire(CC'B') = Aire(CBD)/4.
==> Aire(AA'D')+Aire(CC'B')= Aire(ABD)/4+Aire(CBD)/4 = S/4
De même, Aire(DD'C')+Aire(BBA')= S/4
==> Aire(A'B'C'D')=S/2
A+
A+