exercises suites page83 ex44/45/48 svp

ex44 page 68
soit (u_n) suite numérique:

lUo=1
l
l
lU_n+1=2U_n/(3+VU_n)


Montrez que (U_n)décroissante
montrez que pour tout n de N: U_n+1<2U_n/3
Montrez que pour tout n de N :u_n<(2/3)^n

soit (u_n) suite numérique:

lUo=3
l
l
lU_n+1=2+(1/u_n)-(2/u²n)
montrez que la suite est minoré par 2
montrez que pour tout n de N u_n+1-2<1/4*(u_n-2)
montrez que pour tt n de N 0<u_n-2<(1/4)^n[b

soient (u_n) et (v_n) deux suites!

lUo=1
l
l
lU_n+1=(2U_n)(v_n)/u_n+v_n





lVo=a
l
l
lV_n+1=(U_n+V_n)/2



Montrez (Vn£N):0<u_n<v_n
Montrez que (U_n) croissante et (v_n)décroissante
Montrez que (Vn£N): 0<(v_n+1)-(u_n+1)<1/2*(v_n - u_n)
D2DUIS QUE (Vn£N): 0<(v_n - u_n)<(a-1)/2^n
Montrez que (Vn£N): u_n*v_n=a
Montrez que (Vn£N):u_n<racinea<v_n

pour l'exo 44:
1_ Un+1 - Un = -Un(1+ racineUn)/(3+racineUn)
on a Un>0 (car elle se trouve sous la racine) alors -Un(1+ racineUn)/(3+racineUn) <0 ==> Un décroissante

aideeeeeeeeeeeeeeeeeee

pour deuxieme question $soit n de N
Un+1<=2/3Un<=>2Un/3+VUn<=2/3Un<=>0<=2VUnUn ce quie est vrai pour cahque n de N car Un est positif qqsoit n de N
trois:recurrence
pour n=0==>1<=1 correct
pour n+1
demontrons que Un+1<=(2/3)^n+1
onsait que
qqsoit n de N Un+1<=2/3Un et Un<=2/3 ^n
on multiplie la deuxime inegalite par 2/3 on trouve
Un+1<=(2/3)^n
pour deuxieme exo
recurrence
pourn=0==>3>=2 correct
pour n+1 on a (en supposant queqqsoit n de N Un >=2)
etudions le signe de Un+1 -2<=> 1/Un(1-2/Un)
Un positif et Un>=2 ==>1-2/Un >=0 dou Un+1>=2 qqsoit n deN dou...
on sait que Un>=2 ==>Un-2/Un²<=Un-2/4==>Un+1-2<=1/4(Un-2)
reccurence
pourn+1 on doit demontrer que (po la peinde pour>=0 car on a deja Un >=2 qqsoitn de N)
Un+1-2<=(1/4)^n+1
on sait que Un-2<=1/4^n onmultiplie par 1/4 puis conclu

pour le dernier exo reccurence
pour 0 correct supposon pour n et demontrons pour n+1
Vn+1-Un+1=(Un+Vn)²-4UnVn/2(Un+Vn)<=> Vn+1-Un+1=(Un-Vn)²/2(UN+Vn) >=0 qqoistn de N conclu
Un+1-Un=2UnVn-Un²-UnVn /2(Un+Vn)=Un(Vn-Un)/2(Un+Vn)>=0 dou..
Vn+1-Vn=Un-Vn/2 <=0 dou...
Vn+1-Un+1=1/2(Vn-Un)²/Un+Vn on calcule alors la difference(Vn-Un)² et Vn²-Un² qui est negative
recurrence et multiplie par 1/2 pour question suivante
recurence encoreune fois on calcule Un+1Vn+1quiest egalea UnVn=a
Un<RACa<Vn<=> Un²<UnVn<Vn² quiest juste car Vn>Un >0 pourtout n de N

oui

C machinale je pense