exo olympiade

a et b et c sont des nombres réels et P est un polynome de R vers R te que:
a est le reste de la division euclidienne de P(x) sur (x-a)
b est le reste de la division euclidienne de P(x) sur (x-b)
c est le reste de la division euclidienne de P(x) sur (x-b)

détermine le reste la division euclidienne de P(x) sur (x-a)(x-b)(x-c).

alors pas de réponse ? dommage

rim hariss a écrit:

a et b et c sont des nombres réels et P est un polynome de R vers R te que:
a est le reste de la division euclidienne de P(x) sur (x-a)
b est le reste de la division euclidienne de P(x) sur (x-b)
c est le reste de la division euclidienne de P(x) sur (x-b)

détermine le reste la division euclidienne de P(x) sur (x-a)(x-b)(x-c).

BSR Rim !!!
Tu voulais sans doute écrire :
<< c est le reste de la division euclidienne de P(X) par (X-c) >>
On suppose bien sûr a, b et c , 2 à 2 distincts .
On a donc en fait à déterminer un polynôme P(X) de IR[X] tel que
P(a)=a, P(b)=b et P(c)=c
On en connait déjà un de degré 2 exactement et qui s'appelle
Polynôme d'Interpolation de LAGRANGE.
P(X)=SIGMA CIRCULAIRE a.{(X-b).(X-c)}/{(a-b).(a-c)}
Ce polynôme étant de degré 2 donnera pour reste P(X) quand on le divisera par (X-a).(X-b).(X-c)
Qu'en penses-tu ???????
A+ LHASSANE

BSR monsieur LHASSANE,
je suis pas sure de comprendre mais on a P(x)=a(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)
alors si on divise par (x-a) (x-b)(x-c) on aura a/(a-b)(a-c)(x-a) , nn?
je ne sais pas!

BSR Rim
J'ai écrit :
P(X)=SIGMA CIRCULAIRE a.{(X-b).(X-c)}/{(a-b).(a-c)}
Cequi veut dire :
P(X)=a.{(X-b).(X-c)}/{(a-b).(a-c)}
+ b.{(X-c).(X-a)}/{(b-c).(b-a)}
+ c.{(X-a).(X-b)}/{(c-a).(c-b)}.
Il y a trois PAQUETS !!!!
Par ailleurs , il faut que tu revoies l'Axiome de la Division Euclidienne dans l'espace des Polynômes.
A+ LHASSANE