olympiades

dértermine tous les nombres naturels entiers n et k qui vérifient:
(n+1)^k -1=n!

alors pas de réponse ? dommage

(n+1)^k-1=n! $$
k=0 $$ n a po, de solutions.
k#0 $$ implique n est paire
n!=2..(n/2).n implique n² devise n!
c a d n² devise (n+1)^k-1=n.sum{(n+1)^i} i variant de 0 a k-1.
passons au modulo n :
sum{(n+1)^i} i variant de 0 a k-1=0[n]
implique k=0[n] donc n devise k
alors k sup a n et (n+1)^k sup a (n+1)^n sup a n!+2 sup a n!+1
po de solution alors.

slt selfrespect
jai po compri cette phrase qui comporte bc de signe

c a d n² devise (n+1)^k-1=n.sum{(n+1)^i} i variant de 0 a k-1

donc jai po pu trouver ou tu as commis la faute

contre exemple

n=k=1 realise cette equation

selfrespect a écrit:

(n+1)^k-1=n! $$
k=0 $$ n a po, de solutions.
k#0 $$ implique n est paire
n!=2..(n/2).n implique n² devise n! ¢
c a d n² devise (n+1)^k-1=n.sum{(n+1)^i} i variant de 0 a k-1.
passons au modulo n :
sum{(n+1)^i} i variant de 0 a k-1=0[n]
implique k=0[n] donc n devise k
alors k sup a n et (n+1)^k sup a (n+1)^n sup a n!+2 sup a n!+1
po de solution alors.

salut mni:
j'ai utilusé seulemnt le fait que a^n-b^n=(a-b)[sum_{k=0^ {n-1}} a^k.b^(n-k)]
bon je crois que c là ¢ ou il ya l erreure il faut tt d'abord avoir n>=2 pour parler de n/2..
maintenant on peut dirait que l'equation n'admet po de solution lorsque n est >=2.!
reste a verifier les cas n=1 et n=0 (ce que je l'ai po fais dans le poste precedent) s.e
a+

Si n=0 aucun entier k ne vérifie l'équation.
si n=1 2^k-1=1 donne k=1.
si n>1 n! est pair, donc (n+1)^k doit être impair et par suite n est pair
si n=2 3^k-1=2! donne k=1
si n=4 5^k-1=4!=24 donne k=2
pour n>4 on peut utiliser l'équation n!=2..(n/2).n (2<n/2; faux dans le cas n=4) on utilisera la suit de la démonstration(n divise k)[/b]