| | test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) |  |
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+13mathema ouwais graziella JASPER rajaa16 radouane_BNE mahmoud16 Fourrier-D.Blaine Alaoui.Omar iverson_h3 kalm Conan samir 17 participants |
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radouane_BNE
Modérateur
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Sam 08 Mar 2008, 21:02 | |
| salut tout le monde,apparemment les Marocaines n'excelllent que dans les inégalités et ne s'interessent plus à la géométrie mèmes d'apres ce que j'ai pu constater,les exos de la géométrie dans tous les OM precedents sont à la porté et abordables par contre les inégalités parfois sont difficles et presques parfois inabordables mèmes.Alors juste une petite conseil(mèe si je suis pas à la hauteur de ce conseil) pour les futurs participants et les representans du Maroc,j'espere qu'il essaye de mieux travailler et bosser dans la géométrie car surment ilss vont gagner bcp de points. | |
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rajaa16
Maître
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Ven 28 Mar 2008, 11:33 | |
| c'est des olympiades pour quek niveau?? | |
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JASPER
Maître
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Ven 28 Mar 2008, 12:03 | |
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graziella
Débutant
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Sam 05 Avr 2008, 15:34 | |
| j'ai r1 pigé lol c trop difficile et je suis encore nouvele au domaine!! [img][/img]  | |
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graziella
Débutant
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Sam 05 Avr 2008, 15:36 | |
| et en fait j ' y est participé et j'ai résolu qlq trucs!!!hhhhh | |
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ouwais
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Mer 30 Avr 2008, 15:54 | |
| mai j compren po commen vs avez fait pr lexo 3 vs ecrivez abcd> a²+b²+c²+d²>(a+b+c+d)²/4 plz repondez ^^ merci | |
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mathema
Expert sup
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Dim 20 Juil 2008, 02:48 | |
| Ce Olympiade de quel niveau????????????? | |
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Ayem
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Mer 24 Aoû 2011, 17:16 | |
| Désolé de revivre ce sujet mais j'ai essayé avec cette épreuve du stage et voici mes solutions aux problèmes  . Solution au problème 1:- Spoiler:
Montrons la première implication : ABC est un triangle rectangle => sin²A+sin²B+sin²C=2, ceci est immédiat vu que l'un des sinus vaut 1 et pour les deux autres angles le cosinus de l'un vaut le sinus de l'autre et en tenant compte du fait que pour tout x £ IR nous avons cos²x+cos²y =1 alors on conclut.
Pour la deuxième implication qui est plus intéressante :
Si sin²A+sin²B+si²C=2 alors cela est équivaleà cos²B+cos²C=sin²A=sin²(B+C) ce qui donne cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)=0, si l'un des cosinus est nul alors on tire immédiatement la conclusion,sinon alos oen élevant au carré on retrouve :sin²+sin²C=1=2-sin²A et ainsi sinA=1 alors dans ce cas aussi ABC est rectangle.
Finalement ABC est un triangle rectangle si et seulement si sin²A+sin²B+sin²C=2.
Solution au problème 2:- Spoiler:
Sans nuire à la généralité du problème on suppose que x=min{x,y,z} ainsi x<=1/3. Nous avons : +yz(1-2x)\leq&space;x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}(1-2x)=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}) . On se propsoe de montrer que la valeur maximale est 7/27 alors il suffit de prouver que : ^2(x+\frac{1}{6})\geq&space;0) . Ce qui est clairement vrai. Et puisque la valeur 7/27 est atteinte lorsque x=y=z=1/3 alors c'est la valeur recherchée .
Solution au problème 3:- Spoiler:
Par C.S + I.AG on obitent directement cette série d'inégalités : ^4>&space;abcd>&space;\sum&space;a^2>&space;\frac{1}{4}(\sum&space;a)^2>&space;4\sqrt{abcd}) . Ainsi on obtient a+b+c+d >=8 et ^2) . Donc il suffit de prouver que :  où  . Ce qui est clairement vrai puisque c'est équivalent : (p-8 )(p+4)>0
Solution au problème 4:- Spoiler:
 Notons R et S les points d'intersections de AP et AQ avec (C'), T celui de AM avec(C). Il est bien clair que angle{MAQ}=angle{TAS}=angle{MAS}=angle{QMS}=angle{QMA}-angle{AMS}=angle{QMA}-angle{APQ}=180-angle{AQP}-angle{MAQ}-ane{APQ}=angle{PAQ}-angle{MAQ}. Ainsi angle{MAQ}=1/2angle{PAQ} et ainsi AM est bissectrice de {PAQ}. Pour montre que PQ=1/2(AP+AQ) alors il suffit de remarquer qu'il existe une homothétie de centre A et valeur 3/4 qui renvoie (C) à (C') et ainsi renvoie P à R et Q àS ce qui donne AS=3/4AQ et AR=3/4AP. D'autre pat par la puissance de P et Q au cercle (C') nous avons : PM²=PR.PA=1/4AP² et de même QM²=1/4AQ² finalement : PQ=PM+PQ=1/2AP+1/2AQ=1/2(AP+AQ)
Sauf erreur .. | |
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manazerty
Maître
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Mer 24 Aoû 2011, 22:41 | |
| pour le problème 3,pourriez vous me donner une idée sur l'utilité du a,b,c et d>1/2 ?!
et voici une autre solution:
on a : 4abcd>=4(a²+b²+c²+d²)>=(a+b+c+d)² (d'après cauchy schawrz)
donc il suffit de démontrer que:
(a+b+c+d)²>=4(a+b+c+d)-32
ce qui est évident car:
p²-4p+32 >=0 pour tout p de R vu que le dét. et inférieur à 0
donc: abcd>=a+b+c+d-8
CQFD
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manazerty
Maître
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Date d'inscription : 29/06/2011
| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Mer 24 Aoû 2011, 22:54 | |
| et pour le problème 1 ,supposant que abc est rectangle en A
donc: sin²a=1
et on a:
sin²b=ac²/bc²
et sin²c=ab²/bc²
donc: sin²c+sin²b=ac²+ab²/bc²
si sin²b+sin²c=/=1
donc: ac²+bc²=/=bc²
donc abc n'est pas rectangle dans a :
d'où: sin²a+sin²b+sin²c=2
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kaj mima
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Jeu 25 Aoû 2011, 00:47 | |
| - manazerty a écrit:
- pour le problème 3,pourriez vous me donner une idée sur l'utilité du a,b,c et d>1/2 ?!
et voici une autre solution:
on a : 4abcd>=4(a²+b²+c²+d²)>=(a+b+c+d)² (d'après cauchy schawrz)
donc il suffit de démontrer que:
(a+b+c+d)²>=4(a+b+c+d)-32
ce qui est évident car:
p²-4p+32 >=0 pour tout p de R vu que le dét. et inférieur à 0
donc: abcd>=a+b+c+d-8
CQFD
On doit démontrer que abcd>=a+b+c+d+8 pas (-  . Tu pourrais rectifier ta démo. on doit donc plutôt démontrer que p²-4p-32>=0 (Le discriminant n'est pas négatif) ça consiste à démontrer que p>=8, ce qui est clair d'après Cauchy et IAG! | |
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manazerty
Maître
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Date d'inscription : 29/06/2011
| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) Jeu 25 Aoû 2011, 03:01 | |
| zut! le signe + parait comme un - sur la copie  (je crois que j'ai besoin de lunettes!! lol) bon je rectifie alors: on a :(a+b+c+d)^4>=4^4 abcd>=4^4(a²+b²+c²+d²)>=4^3 (a+b+c+d)²(d'après iag puis l'exo puis cs) donc: (a+b+c+d)²>=4^3 d'où: a+b+c+d>=2^3=8 quoique je ne vois pas vraiment l'utilité de me rectifier vu que t'as déjà donné les détails de la démo  mais bon pas grave ! | |
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| | Sujet: Re: test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) | |
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| | test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008) | |
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