A demontrer;

soit (u_n) une suite infinie de limite l .
montrer que lim (u0 +u1+....+u_n)/n =l

BSR callo !!
Ce ne serait pas le Théorème de CESARO ???
A+ LHASSANE

Tu écrirais :
(u0 +u1+....+u_n)/n ={(u0 +u1+....+u_n)/(n+1)}.(n+1)/n
Le 1er Paquet représente la Moyenne de CESARO de ta suite {un}n converge vers L
et l'autre (n+1)/n tend vers 1 et c'est tout !!!
A+ LHASSANE

C'est justement le théorème de Césaro qu'il faut démontrer, il est hors programme de lycée et de prépa...
Mais bon ça reste un exo basique

Oui, je cherche à travers cet exo a demontrer ce theoreme de cesaro, je vous proposeen premier temps de commencer par le cas de l=0

Salut callo , Toutes et Tous !!
D'abord le Th. de CESARO n'est pas du programme de Terminales , cele se voit en 1ère Année Fac ou en Sup .
C'est assez difficile car il faut manipuler les EPSILON et opérer une véritable CHIRURGIE sur les EPSILONS avec les suites qui est au dessus de vos capacités !!
Maintenant : si L<>0 alors on introduit la nouvelle suite {vn}n définie par vn=un-L , cette nouvelle suite convergera bien vers 0 et sa moyenne de CESARO :
{(v0 +v1+....+v_n)/(n+1)}={(u0 +u1+....+u_n)/(n+1)} - L
Et cela marchera !!
Pour démontrer CESARO pour L<>0 , il suffira de le prouver lorsque L=0 .
la petite translation sur les suites suffira !!!!
A+ LHASSANE

oui mr Lhassane, il faut effectivement commencer par le cas de l=0 puis c tt.
a+

lim u_n=L <=>(qlq ε>0)(E N£ IN)(qlq n£IN):n>=N =>lu_n-L l<ε
=> l Σu_n-nL l <nε
donc (qlq ε>0)(E N£ IN)(qlq n£IN):n>=N =>l (Σu_n)/n-L l <ε
=> lim (Σu_n)/n =L

BJR kalm .
Nous sommes un Samedi et un début de Week-End , place à la détente et la bonne humeur aussi , je ne veux pas me fâcher ni me disputer avec quiconque ...
La Démo du Théorème de CESARO est bcp plus élaborée que ce que tu as écrit là !!
Voici un lien que je t'invite à visiter :
<< http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Ces%C3%A0ro_%28analyse%29 >>
Tape l'URL sans les guillemets !!!
A+ LHASSANE

mais il est ou le probleme dans ma demo

Ceci :
<< l u_n-L l <ε >>
n'est vrai que pour les n >=N
et donc il faut faire ATTENTION lorsque tu SOMMES par exemple ici
<< l Σu_n-nL l <nε >>???!!!
Or quand tu écris la Moyenne de CESARO
comment géres-tu les quantités |un-L| pour n=0,1;.....N-1 ?????
C'est là la difficulté , vas voir le Lien et tu t'apercevras tout seul de ton erreur !!
A+ LHASSANE

PS : tu peux me dire ce qui est faux ICI :
https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/limite-somme-double-t7657.htm#62599

Slt monsieur Hassan
je veux bien tanté la chance pour vous questionez sur Exemple de la série de Grandi dans votre lien
s=Σ(-1)^n=1/2 ??????????

BJR Pilote de Chasse !!
D'abord , ce n'est pas mon lien , il s'agit d'une redirection vers Wikipédia !!
D'autre part , il est dit sur cet article :
<<La série de Grandi est divergente mais la moyenne de Cesàro des sommes partielles converge vers 1/2 >>
qui est un phrase tout à fait claire !!
La série de GRANDI est divergente sans conteste !!
mais la moyenne de CESARO de ses sommes partielles c'est à dire la suite {Sn}n définie par
Sn=uo+u1+......+(-1)^n=1-1+1-1+.........(-1)^n
Sn vaut 0 ou 1 selon la parité de n
La Moyenne de CESARO donc de la suite {Sn}n cvge vers (1/2).
C'est tout simple !!
A+ de Pilote de Ligne !!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR Pilote de Chasse !!
D'abord , ce n'est pas mon lien , il s'agit d'une redirection vers Wikipédia !!
D'autre part , il est dit sur cet article :
<>
qui est un phrase tout à fait claire !!
La série de GRANDI est divergente
mais la moyenne de CESARO de ses sommes partielles c'est à dire la suite {Sn}n dédinie par
Sn=uo+u1+......+(-1)^n=1-1+1-1+.........(-1)^n
Sn vaut 0 ou 1 selon la parité de n
La Moyenne de CESARO donc de la suite {Sn}n cvge vers (1/2).
C'est tout simple !!
A+ de Pilote de Ligne !!!!

Merci oiel de "lynx"

Par contre , je m'interdit de dire que la suite de GRANDI converge vers S=1/2 comme cela est suggéré dans cet article !!!
La série de GRANDI est DIVERGENTE de manière indiscutable puisque ses sommes partielles {Sn}n ne converge pas ( deux valeurs d'adhérence 0 et 1 ).
D'ailleurs , les calculs qui y sont faits ne sont pas licites , dans une série divergente , on n'a pas le droit se sommer par paquets !!!
A+ LHASSANE

Kalm, la méthode est bonne, néanmoins, pour un N fixé, Sigma(u_k)/n (pour k<=N) tend vers 0...
C'est ce qui manque

hamzaaa a écrit:

Kalm, la méthode est bonne, néanmoins, pour un N fixé, Sigma(u_k)/n (pour k<=N) tend vers 0...
C'est ce qui manque

Té vraiment généreux hamzaaa !!!
Mais le GROS de la Démo de CESARO a été passé sous silence par kalm !!! C'est à cet endroit qu'on découpe le Eps en deux (Eps/2) chacun servant à quelquechose : c'est ce que j'ai appelé la CHIRURGIE à la manière des Toubibs !!
Je lui en ai fait la remarque de la manière la +correcte et celui-ci s'en est apparemment aperçu !!
On est là pour apprendre et non pour être complaisant les uns avec les autres !!!
A+ LHASSANE