analyse fonctionelle

Bonjour j'ai un probleme avec cet exercice :

Soient E1 et E2 deux espaces réflexifs,
S1 dans E1 , S2 dans E2 , des sous ensembles convexes fermés , bornés , non vides.

Soit g: S1xS2->R(réels) une fonction telle que:

- pour tout y de S2 x->g(x,y) semi continue supérieurement et concave et

- pour tout x de S1, y->g(x,y) semi continue inférieurement et convexe.


Montrer qu'il existe (x',y') de S1xS2 tels que :


min(y de S2) max(x de S1) g(x,y) = g(x',y') = max(x de S1) min(y de S2) g(x,y)


indication:

considérer la suite d'indice $ :

g$(x,y) = g(x,y) - $N(x)^2 , $>0 ou N(x) est la norme de x

(j'espère que vous avez compris cette écriture sans latex, sinon m'en faire part svp )

Merci d'avance pour toute suggestion.

BSR claired !!
C'est le Problème Classique du Min-Max ou du Point-Selle ( en référence à la selle de cheval ( équitation ) ).
Tu devrais trouver cela dans de bons livres d'Optimisation Convexe de niveau Maitrise !!
A+ LHASSANE

PS : une référence bibliographique ( Cours aux Ponts & Chaussées )
http://cermics.enpc.fr/~cohen-g/documents/Ponts-cours-A4-NB.pdf

Merci beaucoup pour votre aide.
Si vous le permettez j'ai une autre question
avec le meme enoncé en supposant cette fois ci que x->g(x,y) est "strictement" concave on sait qu'il existe un unique u(y) de S1 tel que g( u(y) , y) = max (x de S1) { g(x,y) } .
Comment montrer que la fonction h(y) = g ( u(y) , y ) = max(x de S1) { g(x,y) } est semi continue inferieurement ?
Merci d'avance.

BSR claired !!
Ton hypothèse :
<< pour tout x de S1, y->g(x,y) semi continue inférieurement ..... >>
te permet sans doute , en prenant l' ENVELOPPE SUPERIEURE de déclarer que :
y -------------> Max{g(x,y) ; x dans S1}
est alors semi continue inférieurement !!!!!!
A+ LHASSANE

BJR claired !!
Au cas ou tu n'aurais pas saisi mes explications , on peut faire celà à la main !!!
Soit h : y -------------> Max{g(x,y) ; x dans S1}
et soit a dans IR , on doit montrer que :
E(a)={y dans S2 ; a<h(y)} est un OUVERT de S2 .
Si y0 est dans E(a) alors a<h(y0)=Max{g(x,y0) ; x dans S1}
mais d'après la Propriété de la Borne Supérieure , il existera un x0 dans S1 tel que a<g(x0;y0)<=h(y0)
Or g(x0;.) est sci au point y0 donc il existe un voisinage W(y0) de y0 dans S2 tel que a<g(x0;z)<= Max{g(x,z) ; x dans S1} =h(z) pour tout z dans W(y0) et de là:
on écrira W(y0) inclus dans E(a)
Par conséquent E(a) est un ouvert car voisinage de chacun de ses points.

PS1 : sur S2 , on travaille avec la topologie induite par celle de E2.
PS2 : quel est ton niveau académique ?????

D'accord je ne m'y été pas prise tout à fait comme ça mais j'ai bien compris votre preuve.
Je suis en programme d'échanges cette année à l'université de Montréal( QC , Canada)
Je suis actuellement en 3eme année de licence de mathématiques pures mais je fais cette session un cours donné en master "analyse fonctionelle".
J'ai donc plus de mal pour ce cours que pour les autres de licence qui me semblent vraiment faciles à coté de celui-ci :-)
Etes-vous mathématicien de profession ou tout simplement amateur passioné ? :-)

BJR claired !!
Merci pour tout !!
Tu fais donc un Baccalauréat en Mathématiques Pures à l'UM . Il y a quelques années en 1986, je participais à un Atelier en Optimisation organisé par le CRM de Montréal ( à l'Auberge du Mont Saint Gabriel dans les Laurentides ) et j'y ai connu le Prof. Franck CLARKE qui dirigeait à ce moment là le CRM et d'autres de Polytechnique-Montréal .
Bonne Continuation dans le Pays du Froid Glacial !!
A+ LHASSANE

PS : je réfléchis à ta question .....

Merci pour la bonne continuation.
Malheureusement je retourne en France vers Juin , le programme d'echanges arrive a terme...
Mais j'aime tellement ce pays que je pense y retourner tres vite
:-)

claired a écrit:

Si ça ne vous dérange pas, j'ai une dernière question sur cet exercice.
En reprenant le meme énoncé mais en supposant que x->g(x,y) est "strictement" concave j'ai montré donc que pout tout y fixé dans S2 , il existait un unique u(y) de S1 tel que
h(y) = max (x de S1) { g(x,y) } = g(u(y),y)
puis j'ai montré qu'il existait un y$ tel que h(y$)<h(y) pour tout y de S2.
et j'ai montré que en posons x$ = u(y$)
g(x,y$)<g(x$,y$) pour tout x de S1
mais je n'arrive pas à montrer que : g(x$,y$) < g(x$,y) pour tout y de S2 ?

C’est un tantinet compliqué et je vais le faire en plusieurs étapes !!

1ère Etape : Pour tout y dans S2 et a dans ]0 ;1[ on pose y(a)=(1-a).y$ + a.y puis x(a)=u(y(a))
On a h(y$)<=h(y(a))=g(x(a) ;y(a))
<=g(x(a) ; (1-a).y$ + a.y)<=(1-a).g(x(a) ;y$) + a.g(x(a) ;y)
<=(1-a).h(y$) + a.g(x(a);y)
on en déduira que h(y$)<=g(x(a);y)

2ème Etape : On prend n dans IN* puis a=1/n et on posera xn=x(a)=x(1/n)
La suite {xn}n est une suite de S1 convexe , fermé , borné du Banach E1 donc elle est bornée ; on peut alors en extraire une sous-suite notée encore {xn}n et qui converge vers un certain x* de S1
On va montrer que x*=x$ .
Car sinon , on aurait h(y$)>=g(x* ;y$)
Puis h(y$)<=g(xn ;y$)
Puis en raison de la scs de la fonction g(. ;y$) , on pourra écrire :
h(y$)<=LimSup g(xn ;y$)<=g(x* ;y$)
et donc h(y$)=g(x$ ;y$)=g(x* ;y$)
ce qui contredirait l’unicité de x$ .
CONCLUSION : x*=x$

3ème Etape : On a pour tout n dans IN*
h(y$)<=g(xn;y)
Comme à l’étape (2) par scs de g(. ;y) on déduira que :
h(y$)=g(x$ ;y$)<=LimSup g(xn;y)<=g(x* ;y)=g(x$ ;y)

A+ LHASSANE

PS : Je te recommande le Livre de Jean-Christophe CULIOLI
« Introduction à l’Optimisation » aux Editions « Ellipses »
Il n'est pas nécessaire de l'acheter mais ,s’il se trouve à la Bibal de l’UM , emprunte le et vas aux pages 116 et suivantes , tu y trouveras ton bonheur !!!!

Bonjour Oeil de Lynx !
Je ne suis pas réveillée depuis longtemps effectivement ! :-)
Tout d'abord merci beaucoup pour tout !
Malheureusement pour moi, il n'y a pas le livre que vous m'avez recommandé de Culioli à la bibliothèque de l'Udem..
Si je suppose dans mon énoncé que x->g(x,y) est juste concave et non strictement concave, avec l'indication que j'avais donné au premier post , j'arrive à trouver un point de selle si la fonction x->g$(x,y) = g(x,y) - $N(x)^2 est strictement convave ( dans le cas ou on a le carré de la norme sur le banach E1 qui est strictement convave , or elle ne l'est il me semble que si E1 est lui meme strictement concave , je me trompe ? )
Dans ce cas là c'est assez facile puisque j'ai montré auparavant qu'une telle fonction g$(x,y) strictement concave-convexe possédait un point de selle.
Mais dans le cas ou g$(x,y) n'est pas une fonction strictement concave, comment est ce que je peux faire pour montrer que,avec les hyppothèses de l'énoncé , il existe tout de meme un point de selle ?
Merci encore :-)

En France, je suis à l'Université de Bordeaux :-)

claired a écrit:

......Si je suppose dans mon énoncé que x->g(x,y) est juste concave et non strictement concave, avec l'indication que j'avais donné au premier post , j'arrive à trouver un point de selle si la fonction x->g$(x,y) = g(x,y) - $N(x)^2 est strictement convave ( dans le cas ou on a le carré de la norme sur le banach E1 qui est strictement convave , or elle ne l'est il me semble que si E1 est lui meme strictement concave , je me trompe ? ............

BJR Claire !!!!
Tout d'abord , E1 est un BANACH ( c'est à dire un evn COMPLET ) sur E1 on n'a pas de notion concave convexe ; cette notion là concerne les fonctionnelles définies dessus !!!
Pour $ >0 qui sera destiné à tendre vers 0+ , la fonctionnelle :
x----------->g$(x,y)=g(x,y)-$.N^2(x) est bien STRICTEMENT CONCAVE en x pour chaque y fixé dans S2
Par conséquent , pour chaque $>0 , il existe un point selle de g$ que l'on pourra noter (a$,b$) et qui vérifie donc :
g(a$,y)-$.N^2(a$) <=g(a$,b$)-$.N^2(a$)<=g(x,b$)-$.N^2(x)

Il suffira alors de considérer , par exemple en choisissant $=1/n pour n entier naturel non nul et en notant an=a$ pour $=1/n idem pour bn , la suite {(an,bn)}n qui est bornée dans S1xS2 et d'en extraire une sous-suite convergente vers un couple (a,b) de S1xS2
( S1xS2 est un convexe , fermé et borné de E1xE2 pour la topologie produit d'espace de Banach ) puis par les semi-continuités requises et présentes , on en déduira que :
g(a,y)<=g(a,b)<=g(x,b) pour tout x dans S1 et tout y dans S2
soit que (a,b) est un point-selle !!!!

A+ LHASSANE
PS: Bordeaux : la Rue Ste-Catherine , Place de la Victoire , Talence et son Campus !!! A Bdx , ils sont très forts en << Arithmétique appliquée au Codage >> . Petite ville bien bourgeoise ...

Vous dites qu'il n'ya pas de notion convexe concave sur un espace de banach , mais pourtant dans plusieurs livres on parle d'espace de banach strictement convexe par exemple etc...
Je suis un peu perdue....:-)

BJR Claire !
Je suis d'accord avec toi !!!!
Il y a d'ailleurs toute une littérature sur la Géométrie des Espaces de Banach à partir de propriétés sur leurs normes !!!!!!
Mais dans le cas du Théorème du Min-Max c'est surtout pour la fonctionnelle g (.;.) dont on recherche le Point-Selle qu'il est question de convexité ou concavité ( stricte ou large ) par rapport à l'un ou à l'autre de ses arguments.
Il n'y a donc AUCUN MALENTENDU !!!!!
C'est ta phrase :
<< dans le cas ou on a le carré de la norme sur le banach E1 qui est strictement convave , or elle ne l'est il me semble que si E1 est lui meme strictement concave , je me trompe ? >>
qui m'a complètement fait sursauter !!!!!
Car d'abord la norme est toujours CONVEXE et puis E1 strictement concave ne veut pas dire grand chose ( on connait les espaces de Banach strictement convexes SC , uniformément convexes UC etc ... ).
A+ LHASSANE

Oh lala je viens de me rendre compte de la betise dans ma phrase....
Quand j'ai ecrit que le carré de la norme etait une fonction concave je pensais en fait a l'opposé du carré de la norme= - N(x)^2
comme dans l'indication que j'avais donnée.
Merci pour la remarque !

et je suis d'accord que E1 strictement concave ne veut pas dire grand chose aussi.....

les deux concaves auraient du etre remplacés par convexe il faut oublier ma phrase..... :-)

BSR Claire !!! Sa vas-tu bien ????
tkt pas !! C'est Cool !!
Ta démo est entièrement mise en forme et bouclée !!
A+ LHASSANE

Bjr Je vais bien merci et vous ?
Finalement , j'avais cours d'analyse fonctionnelle hier , et un des élèves a donné un contre exemple au professeur ou justement la norme au carré d'un Banach n'etait pas strictement convexe !
Elle a cherché un moment puis nous a dit que pour l'instant on avait cas essayer de résoudre l'exercice comme si c'était toujours le cas et qu'elle nous en dirait plus la prochaine fois...
!je crois quele contre exemple etait celui ci :
si on se place dans la dimension 2 des réels (R2) et que l'on considère deux point x et y de l'ensemble tels que N(x)^2 = N^(y)^2=1 avec t=1/2 on a une contradiction ...

pardon j'ai oublié de préciser que l'on prenait sur R2 la norme infini.
Je pense que c'est celle ci...
Je n'ai pas revérifié :-)

BJR Claire !!
Je crois qu'il y a confusion ici !!
Dans l'énoncé du Théorème du Min-max tel que tu l'as donné , il n'a jamais été question en tout cas de la stricte convexité de la norme de E1 ou E2 . De même g est seulement convexe-concave par rapport à l'un ou l'autre de ses deux arguments !!!!!
Les normes sur ces Banachs sont tout à fait quelconques !!
Par contre , on a dit à un certain moment dans la démo :
<< x ----------->g$(x,y)=g(x,y)-$.N^2(x) est bien STRICTEMENT CONCAVE en x pour chaque y fixé dans S2 >>.
C'est donc la fonctionnelle g$ << g perturbée par la norme N >> qui est globalement STRICTEMENT CONCAVE !!! On a ici stricte concavité car -$N^2(.) .

A+ LHASSANE

PS: en fait je me rends bien compte que g$(.,y) devant etre , pour chaque $>0 , strictement concave , cela ne peut provenir en fait que la Stricte Convexité de N(.).
En conclusion : pas d'échappatoire , on devra supposer au départ que E1 ou E2 est un Banach SC . Dans la pratique , force est de constater que le Th. du Min-Max est souvent utilisé pour E1 et E2 de type IR^n et là on a la Norme Euclidiennne toute disponible et qui est Strictement Convexe.
Avoue le tout de même , ton énoncé était pluôt vague de ce côté là !!!!

Le problème qu'a soulevé votre Prof est le suivant :
Sur un même evn E , il peut exister plusieurs normes , certaines pouvant etre Strictement Convexes et d'autres pas !!
Le cas de IRxIR avec
1) la Norme Infinie qui n'est pas SC ( quand tu dessines la Boule-Unité il y a du PLAT ) .
2) la Norme Euclidienne qui l'est ( la Boule-Unité est bien ronde !!! ) .
Ce résultat reste encore VRAI dans les IR^n .
A+ LHASSANE

D'accord je vois.
J'ai cours Jeudi, on verra ce qu'elle nous dira :-)

Oeil_de_Lynx a écrit:

...
PS: en fait je me rends bien compte que g$(.,y) devant etre , pour chaque $>0 , strictement concave , cela ne peut provenir en fait que la Stricte Convexité de N(.).
En conclusion : pas d'échappatoire , on devra supposer au départ que E1 ou E2 est un Banach SC . Dans la pratique , force est de constater que le Th. du Min-Max est souvent utilisé pour E1 et E2 de type IR^n et là on a la Norme Euclidiennne toute disponible et qui est Strictement Convexe.
Avoue le tout de même , ton énoncé était pluôt vague de ce côté là !!!!

A+ LHASSANE

Bonjour oeil de Lynx !
Oui je suis bien d'accord que l'enoncé était vague à ce niveau , ce n'est pas pour rien si beaucoup d'etudiants étaient un peu perplexes au dernier cours je pense :-)
j'ai réfléchi à une autre version du théorème min max :
Si on suppose que en reprenant l'enoncé du premier post, l'enlève l'hypothèse "ensembles bornés" et que je remplace "strictement concave " par concave, en rajoutant comme hyphothèses:
il existe y0 de S2 tel que g(x,yo)-> +oo si N1(x)->+oo
il existe x0 de S1 el que g(xo,y)-> +oo si N2(y)->+oo
(N1 norme sur S1 et N2 norme sur S2)

Pour montrer l'existence du point de selle , j'avais pensé à associer resp. à S1 et S2 deux suites d'ensembles bornés {S1n} et {S2n}. J'ai montré que dans de tels ensembles avec les hypothèses de l'énoncé , il existait une suite de point de selles (x$n,y$n) de g sur (S1n x S2n). Comme S1n et S2n sont dans S1 et S2(resp.) qui sont fermés , apres extractions, S1n et S2n convergent faiblement vers S1 et S2
et (x$n,y$n) , apres extractions, converge faiblement vers un point (x$,y$) de S1xS2 qui reste un point de selle en passant à la limite dans les inégalités:
pour tout n de N : g(x,y$n)<=g(x$n,y$n)<=g(x$n,y$)
à l'aide des semi-continuités.

J'aimerais avoir vos remarques.
Merci beaucoup :-)