analyse fonctionelle

claired a écrit:

………….J'ai réfléchi à une autre version du théorème min max :
Si on suppose que en reprenant l'enoncé du premier post, j'enlève l'hypothèse "ensembles bornés" et que je remplace "strictement concave " par concave, en rajoutant comme hyphothèses ( DOUBLE COERCIVITE ) :
il existe y0 de S2 tel que g(x,yo)-> +oo si N1(x)->+oo
il existe x0 de S1 el que g(xo,y)-> +oo si N2(y)->+oo
(N1 norme sur E1 et N2 norme sur E2)………

BJR Claire !!!
Comme le Théorème du Point Fixe , celui du Point-Selle ne déroge pas à la règle !! Il en existe une foultitude dans la littérature mathématique et toutes sont vraies sous le système cohérent d’hypothèses que l’on y a mis !!!
Naturellement et c’est ce qui se fait : on affaiblit une hypothèse pour en renforcer une autre et c’est le cas en question .
Je te confirme que l’on peut supprimer les hypothèses de BORNITUDE sur S1 et S2 mais rajouter la DOUBLE CONDITION de COERCIVITE sur g(. ;.) .
C’est classique en Optimisation et Calcul des Variations de rencontrer celà !!

claired a écrit:

………Pour montrer l'existence du point de selle , j'avais pensé à associer resp. à S1 et S2 deux suites d'ensembles bornés {S1n} et {S2n}. J'ai montré que dans de tels ensembles avec les hypothèses de l'énoncé , il existait une suite de point de selles (x$n,y$n) de g sur (S1n x S2n). Comme S1n et S2n sont dans S1 et S2(resp.) qui sont fermés , apres extractions, S1n et S2n convergent faiblement vers S1 et S2
et (x$n,y$n) , apres extractions, converge faiblement vers un point (x$,y$) de S1xS2 qui reste un point de selle en passant à la limite dans les inégalités:
pour tout n de N : g(x,y$n)<=g(x$n,y$n)<=g(x$n,y$)
à l'aide des semi-continuités……………

Ta proposition et démarche appellent plusieurs remarques :
1) Comment définis-tu les sous–ensembles S1n ( respt S2n ) de S1 ( respt S2 ) ???
Je devine peut etre que tu interceptes S1( respt S2 ) avec la Boule de centre l’origine et de rayon n ( ou qqquechose de croissant --->+oo )
2) Tu dis << S1n et S2n convergent faiblement vers S1 et S2 >> ?! Il serait intéressant de préciser ce type de convergence d’ensembles .
3) Tu évoques << converge faiblement vers un point >> , tu manipules donc des topologies FAIBLES ou AFFAIBLIES sur E1 et E2 .
Mon point de vue , c’est que le Numéricien ( celui qui fait les Calculs sur Ordi pour arriver à la valeur du Point-Selle n’aime pas beaucoup les Topologies Faibles il préfère plutôt la Topologie Forte ( la Norme car grace à elle , il peut évaluer quantitativement les erreurs !!! ).

A+ LHASSANE

Je viens de me rendre compte que toute ma demonstration ne tient pas la route puisqu'elle se base sur une hypothèse fausse....
avez-vous une idée de demonstration plus simple ? :-)

claired a écrit:

Je viens de me rendre compte que toute ma demonstration ne tient pas la route puisqu'elle se base sur une hypothèse fausse....
avez-vous une idée de demonstration plus simple ? :-)

Laquelle ???
Tu en as donné qu'une ébauche .....
Tu n'as pas répondu à mes questions de l'alinéa 2)

PS : une autre référence bibliographique ( celui-ci , tu le trouveras certainement à la la biblio de l'UdM :
Ivar EKELAND et Roger TEMAM
Convex Analysis and Variational Problems.
North-Holland ( American Elsevier ). 1976

oui pardon , ce n'est pas démonstration que je voulais dire....
pour la reponse à 1) je pensais à faire ç oui.
Mais ma demarche est de toute façon mauvaise, puisque je ne peux pas dire que la suite de points selles existe (je ne l'ai pas prouvé avant contrairement a ce que je conyais..)
ps : le livre que vous m'avez conseillé est a la biblio mais malheureusement il est deja emprunté....
Je suis vraiment perdue sur cette demonstration..

BSR Claire !!!
D'abord tu as un MP ; si tu veux bien le lire !!

La Première Démo est complètement bouclée et on a dit qu'il faut mettre sur E1 et E2 des normes Strictement Convexes pour que cela fonctionne .

Ensuite , je te suggère de faire ceci :
En fait pour prouver l'existence de point-selle sans la BORNITUDE , tu auras besoin de prouver ceci :

Soit E un Banach de norme N(.) , S une partie non vide , convexe et fermée de E et J une fonctionnelle
t -----------> J(t) de E dans IR
On suppose J convexe sci sur E et vérifie :
Lim J(t)=+oo lorsque N(t) ----->+oo
Alors il existe to dans C tel que J(to)=Min {J(t); t dans C}
De plus si J est strictement convexe alors ce minimum est atteint en UN SEUL point de C.

PS: ce résultat est adaptable au cas scs ( en changeant J en -J )
pour obtenir un maximum de fonctionnelle concave scs .

Effectivement j'avais commencé par montrer
que y->g(x0,y) qui est sci convexe et qui verifie lim g(xo,y) = +oo
lorsque N1(x)->+oo admetait un minimum (ou maximum )
et de meme pour x->g(x,yo)
Mais j'avais été incapable de continuer dans ce chemin , c'est pour cela que j'avais entamé une autre demarche...

BSR Claire !!
Tu reprends mot pour mot ta Démo initiale , elle fonctionne impeccablement sans anicroches , tu devras seulement imposer à N(.) d'etre SC pour finaliser.
On retombe sur l'impérative nécessité que E1 et E2 doivent etre des Banachs Strictement Convexes !!! ( c'est toujours pour garantir que g$(.,y) est strictement concave );
Regardes celà de près et en cas de pb je suis là ou en MP !!

mais meme si l'on a la stricte concavité....je ne pense pas que les hyphothèses de l'exercice soient suffisantes....
Je ne sais pas si tu as bien lu, au cas ou je te remets les nouvelles hypothèses :

il existe y0 de S2 tel que g(x,yo)-> +oo si N1(x)->+oo
il existe x0 de S1 el que g(xo,y)-> +oo si N2(y)->+oo
(N1 norme sur S1 et N2 norme sur S2)

et non pas "pour tout "

avais-tu bien lu ?

BJR Claire !!
Si j'ai bien compris , tu aurais besoin de montrer ceci :

Si {E1;N1} et {E2;N2} sont deux Banachs réflexifs , S1 ( respt S2 ) un convexe fermé non vide de E1 ( respt E2 ) et g une fonctionnelle :
g : (x,y) ---------------> g(x,y) définie dans E1xE2 à valeurs dans IR telle que :
H1 : pour tt x dans S1 g(x;.) est convexe sci
H2 : pour tt y dans S2 g(.;y) est concave scs
H3 : il existe y0 de S2 t.q g(x;yo)-> +oo si N1(x)->+oo
H4 : il existe x0 de S1 t.q g(xo;y)-> +oo si N2(y)->+oo
Alors pour tt y dans S2 , g(.;y) admet un MAXIMUM sur S1 atteint en un point noté u(y) de S1.
En outre si g(.;y) est strictement concave , ce point est UNIQUE .

Désolé , mais je n'y arrive pas !!
Il est vraisemblable qu'il ya quelquechose d'assez fort à utiliser ou que globalement le système d'hypothèses est incomplet .
Tu devras ton salut à la consultation du livre de EKELAND-TEMAM dont je t'ai donné l'intitulé !!