Inégalité Simple

x,y et z sont trois réels strictement positifs
demontrer que xy/z+yz/x+zx/y>x+y+z

salut
pour avoir supérieur stricte les x ; y ; z doivent etre distincts
(prends x=y=z=1 on a 3>3 impossible )
donc je supposerai que x,y,z sont deux à deux distincts

on pose xy/z=a , yz/x=b ;zx/y=c
donc on a
xy/z+ yz/x +zx/y = a+b+c
et x^2=ac
y^2=ab
z^2=bc
pour montrer l'inégalité il suffit de montrer que
a+b+c > sqrt(ac)+sqrt(ab)+sqrt(bc)
ce qui évident car
a+b>2sqrt(ab)
b+c>2sqrt(bc)
a+c>2sqrt(ac)

Une autre solution, juste pour le fun

On peut supposer x <= y <= z

Alors xy,xz,yz et 1/z,1/y,1/x sont rangés dans le même ordre.

L'inégalité de réordonement donne que :

Sum xy/z >= Sum xy/y = Sum x

on peut aussi poser a=xy et b=yz et c=xz
et l'inégalité equivaut : a^2+b^2+c^2>(=)ab+ac+bc
pour le signe > , je n'ai pas trouvé un qui veut dire "plus grand ou égale",mais prochainement je vais l'ecrire >(=)

Ismail a écrit:

je n'ai pas trouvé un qui veut dire "plus grand ou égale"

En général on utilise ">=" qui est le symbole de tous les langages de programation habituels (à vrai dire je connais pas de langage qui utilise un autre symbole )

tµtµ a écrit:

(à vrai dire je connais pas de langage qui utilise un autre symbole )

Non plus (quoique.. en BrainFuck par exemple... )

Je sais pas si on peut vraiment appeler ça un langage de programmation (et sûrement pas un langage de programmation habituel ).

Je confirme

on a pour tt réel positif 2ab<=a+b
on a alors rac(xy*yz/z*x)<=(xy/z+yz/x)/2
c a d y<= (xy/z+yz/x)/2
de meme x<=(xz/y+xy/z)/2
z<=(xz/y+yz/x)/2
en sommant x+y+z<=(xy/z+yz/x+xz/y)

selfrespect a écrit:

on a pour tt réel positif 2ab<=a+b

tu veux dire
2rac(ab)<=a+b

facile

oui
2rac(ab)<=a+b