inégalité simple

x ;y;z>=0 et x+y+z=3
prouvez que
x²+y²+z²>=3/2(xy+yz+xz-xyz)

c pas trés simple
on a
x²+y²+z²>=3/2(xy+yz+xz-xyz)
<=>2(x²+y²+z²)>=3(xy+yz+xz-xyz)
<=>2(x+y+z)(x²+y²+z²)>=3(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xy
<=>2(x^3+y^3+z^3)>=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
ce qui est vrai
un demo
x^3+y^3>=(x+y)(x²+y²-xy)>=xy(x+y)
a+

Citation :

...
<=>2(x+y+z)(x²+y²+z²)>=3(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz
...

Je Pense que l'ai vu dans Mathlink avec la meme methode http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=152571

mercii pour le site

lol de rien une autre fois

stof065 a écrit:

c pas trés simple
on a
x²+y²+z²>=3/2(xy+yz+xz-xyz)
<=>2(x²+y²+z²)>=3(xy+yz+xz-xyz)
<=>2(x+y+z)(x²+y²+z²)>=3(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xy
<=>2(x^3+y^3+z^3)>=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
ce qui est vrai
un demo
x^3+y^3>=(x+y)(x²+y²-xy)>=xy(x+y)
a+

peut tu mieux expliquer

Conan a écrit:

lonly a écrit:

stof065 a écrit:

c pas trés simple
on a
x²+y²+z²>=3/2(xy+yz+xz-xyz)
<=>2(x²+y²+z²)>=3(xy+yz+xz-xyz)
<=>2(x+y+z)(x²+y²+z²)>=3(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xy
<=>2(x^3+y^3+z^3)>=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
ce qui est vrai
un demo
x^3+y^3>=(x+y)(x²+y²-xy)>=xy(x+y)
a+

peut tu mieux expliquer

ok . j'explique
pour la premier : 2(x^3+y^3+z^3)=(x^3+y^3)+(y^3+z^3)+(z^3+x^3)=(x+y)(x²-xy+y²)+(y+z)(y²-zy+z²)+(z+x)(z²-xz+x²)>=(x+y)(2xy-xy)+(y+z)(2yz-yz)+(x+z)(2xz-xz)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
pour la deuxiém:
x^3+y^3=(x+y)(x²-xy+y²)>=xy(x+y)
il ya une autre methode dans le site mathslink : théorém de Muirhead
mais laisson stof065 nous la expliquer