Les Bases

Mes salutations :

Soit a dans R : Montrer que {1,(x-a),(x-a)²,.....,(x-a)^n} est une base de Rn[x]!.

Donner les coordonnées de x^n dans cette base !

Merci !

Vous avez pris vos vacances ?

J'éspère que je penses est faux !!!

Oui c'et une base. La formule de Taylor permet d'écrire pour un polynôme P de IRn[X].
P(x)=P(a)+P'(a)(x-a)+...+P^(n)(a)(x-a)^n/n! Donc la famille est génératrice par suite est une base car son cardinal est n+1=dim IRn[X]

Un exo plus général
Montrer que toute famille de (n+1) polynômes de IRn[X] dont la suite des degrés est strictement croissante est une base de IRn[X]

en effet il suffit de montrer qu'elle est libre (car son card est egal a la dim de llRn[x]) pour cela utiliser les degres ou les coefficents dominants (c'est assez facile vous n'avez qu'a rediger)

BJR à Toutes et Tous !!
Ou alors quand vous écrivez la matrice de cette famille par rapport à la Base Canonique de IRn[X] , vous obtiendrez une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale principale donc le Déterminant est 1 non nul .....
la famille est libre et de cardinal (n+1) .......

Bonjour

en fait il existe une proprieté qui dit que toute famille etagée(de degrés 2a2 distincs ) de polynomes est libre