Je suis trés heureux de poster cette solution que j’espère être correcte.
(a)-On a x²(x+y)=y²(x-y)² ó a²d²(ad+bd)=b²d²(ad-bd)²ó a²d3(a+b)=b²d4(a-b) óa²(a+b)=b²d(a-b)²
(b)- de (a) on déduit que b divise a²(a-b),comme b est premier avec a, il est donc premier avec a²,donc est b divise (a-b) (d’après la théorème de Gauss).
il existe un entier n tel que (a-b)=nb ó a=(n-1)b , et cele implique que b divise a ,alors b divise pgcd(a,b)=1,donc b=1.
(c)- on replaçe b par sa valeur 1 dans a²(a+b)=b²d(a-b)² , on obtient d(a-1)²= a²(a+1),
Comme a²(a+1)>0 alors (a-1)²≠0 donc a≠1.
D’un autre part ,(a-1) divise a²(a+1) , comme a-(a-1)=1 alors a est premier avec (a-1)
(d’après la théorème de Bezout),donc (a-1) est premier avec a²,ce qui conduit à conclure
que (a-1) divise (a+1) et par conséquent (a-1) divise (a+1) –(a-1) =2
donc a-1=±1 ou a-1=±2 ,soit a=0 ,a=2,a=3 ou a=-1.
Les deux solutions -1 et 0 n’appartiennent pas à IN*,donc a=2 ou a=3.
(d)-selon les quetions précédentes on a :a=2 ou a=3 et b=1.Si a=2 alors d=12 et si a=3 alors d=9.
Soit (x,y) les solutions de l’équation E ,donc les solutions possibles de E sont
(2×12,12)=(24,12) et (3×9,3)=(27,3)
Récipriquement , (24,12) et (27,3) sont en effet des solutions de E.
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