matrices

salut tt le monde :
soit H un hyperplan de Mn(K).n > 1.
montrer H contient au moins une matrice inversible.
bon courage

indication:
si I_n est dans H ok.
si non H = ker(u) avec u forme liniéaire non nulle sur Mn(K)
assayer de trouver une matrice de la forme : I_n - A avec A nilpotante . remarquer que Mn(K) = H (+) K.I_n.

BON COURAGE.

je m'excuse l'éxo était posé par sinchy , j'ai pas fait attention :!!
mais pas de réponce:je propose cette solution:
- si I_n est dans H c'est fini.
si non soit u telle que Ker(u) = H u forme linéaire NON NULLE
1-si il existe i et j distincts tq u(E_i,j) non nul alors
A= I_n - [u(I_n)/u(E_i,j)]E_i,j est dans H est inversible
car E_i,j NILPOTENTE.
2- si pour tout i et j distincts on a u(E_i,j)= 0 .
alors : A = E_n,1+E_1,2 + E_2,3 + ...+ E_(n-1),n
on a u(A) = 0 et A invercible car les vecteurs colonne de A sont ( e_n,e_1,e_2,...,e_(n-1)) ou ( e_1 , ...,e_n ) est la base canonique de K^n.

bonjour

je crois qu'on va interpreter H comme etant le noyau d'une forme lineaire non nulle

oui Mahdi tu peux voir la solution...
H hyperplan de E k.e.v <=> il existe u f.l sur E tq Ker(u)=H.

oui c mieux

bien vu Aissa

aissa a écrit:: je m'excuse l'éxo était posé par sinchy , j'ai pas fait attention :!!
mais pas de réponce:je propose cette solution:
- si I_n est dans H c'est fini.
si non soit u telle que Ker(u) = H u forme linéaire NON NULLE
1-si il existe i et j distincts tq u(E_i,j) non nul alors
A= I_n - [u(I_n)/u(E_i,j)]E_i,j est dans H est inversible
car E_i,j NILPOTENTE.
2- si pour tout i et j distincts on a u(E_i,j)= 0 .
alors : A = E_n,1+E_1,2 + E_2,3 + ...+ E_(n-1),n
on a u(A) = 0 et A invercible car les vecteurs colonne de A sont ( e_n,e_1,e_2,...,e_(n-1)) ou ( e_1 , ...,e_n ) est la base canonique de K^n.

bon travail Mr aissa , mais a ce point la on peut utiluser le fait qu il existe une matrice A tq u(M)=tr(AM) qq soit M de Mn(K). ensuite le travail devient la recherche dune matrice inversible B tq tr(AB)=0.
d'autre part il ya une autre proposition qui est plus fort que celle çi disant que la dimention maximal d'un ev de Mn(K) ne contenant aucune matrices inversible est n(n-1),or dim d'1 hyperplan est n²-1>n(n-1) alors c conclu.
look here Laughing

merci bien selfrespect pour le lien c'est trés intéressant.
j'ai vu la généralisation in les maths en tête mais sans démonstration!!