exo2

f une fonction numérique définie sur R+ telle que
h(x)=f(x)-x^3 et g(x)=fx)-3x sont deux fonctions croissantes sur R+

montrer que T(x)=f(x)-x²-x est aussi croissante sur R+


c notre OMM 09/05/2008

h(x)=f(x)-x^3 et g(x)=fx)-3x sont deux fonctions croissantes sur R+

donc h'(x)=f'(x)-3x^2>=0 et g'(x)=fx)-3 >=0

donc f'(x)>=3/2x^2+3/2

dqutre part on a

T'(x)=f'(x)-2x-1


ona aussi 3/2x^2+3/2>=2x+1 si x E (0.1/3)union (1.+00)


don il suffit de montrer que T est croissante entre 1/3 et 1

je vais reflechir ...

ok jai trouver une idee
on a
g'(x)=f'(x)-3 >=0

donc f'(x)>=3

et on a aussi sur 1/3 1


3>2x+1

donc pour tous reel entre 1/3 et 1
f'(x)>=2x+1


ce qui permet de deduire que

T(x) est croissante sur R+

f n est pas surement dérivable sur R+

ok je vais chercher

slt !

on a :


soit a>b>0

on a :


et puisque h et g sont croissantes on a : h(a)-h(b)>0 et g(a)-g(b)>0

on tire l inegalités (*) suivantes :


on doit montrer que T est croissante :
on a :
T(x)=f(x)-x²-x <==> f(x)=T(x)+x²+x
donc :


donc il suffit de montrer l inegalité :

f(a)-f(b)> a²+a-b²-b

pour en deduire que T(a)-T(b) > 0

on note :


de (*) on a : T > a²+ab+b² et T > 3

et on doit montrer que : T > a+b+1

si a > b >=1 :
T > a²+ab+b² = (a+b)a+b² > (a+b)(1)+1²=a+b+1

si 1 >= a>b
T> 3 = 1+1+1 > a+b+1

donc on a prouvé que T est croissante

bojour jai fait une meme demot mais il tereste un cas dans la discussion

un des deux sulement inferieur a 1

ce cas peut etre seulement dedui par transitivité f(a)>f(1)>f(b)

memath a écrit:

ce cas peut etre seulement dedui par transitivité f(a)>f(1)>f(b)

???cherches ya une autre methode plus belle!!

je crois que ma methode n est pas mal aussi.
si possible poste ta methode

3T>a²+b²+ab+6=(a+b)²/2 + b²/2 + a²/2 + 6=((a+b)²/2 +2)+(b²/2+1/2) + (a²/2 + 1/2)+3>=3(a+b+1) AM-GM

c est presque la meme chose sauf que toi t as pris le racourci