Avis des prochains SM

salut,

comme j'ai deja dit dans l'autr topic ,je voulais juste vous suggerer d organiser vous aussi 'un jeu' ou vous allez proposer des exos d'olympiade ,et vous essayerez de les resoudre ,le premier qui trouv la solution qu il la poste et propose un nouveau defi et ainsi de suite,que pensez vous,parce que l'anné prochaine est pleine de defis pour vous.

a+

Ok. A toi la main.

Avant de commencer je veux dire que les eleves depassant le tronc commun n'ont pas le droit de donner des solutions (slm en cas d'urgence ),esperant aussi que le nombre des participants va augmenter.

Ok ,on va commencer par une inégalité:
a et b des nombres reels positifs tel que a+b=1,prouvez que:

a²/(a+1) + b²/(b+1) >= 1/3

les prochaines seront plus dificiles,a+.
P.S:ne pas utiliser Cauchy-shwarz dans celle la.

X=a²/(a+1) + b²/(b+1) >= 2ab/V(a+1)(b+1)
V(a+1)(b+1) =< (a+b+2)/2 =< 3/2
=> X>=4ab/3
Vab>=a+b/2>= 1/2
=>ab>=1/4
On conclut.

mhdi a écrit:

X=a²/(a+1) + b²/(b+1) >= 2ab/V(a+1)(b+1)
V(a+1)(b+1) =< (a+b+2)/2 =< 3/2
=> X>=4ab/3
Vab>=a+b/2>= 1/2
=>ab>=1/4
On conclut.

Non mhdi,rah ab <= 1/4 puiscque (a+b)² >= 4ab.

slt red11,ta solution est juste ,mais dans la 3eme ligne tu dois prouver premierement que 0 < -b²+b+2 quand 0<b<1.il y a d autres methodes plus simple.

J'avais totalement oublié ce topic -_-"
a²/(a+1) + b²/(b+1) >= 1/3
<=> 3a²(b+1)+3b²(a+1) >= (a+1)(b+1)
<=> 3a²b+3b²a+3a²+3b² >= ab+a+b+1
<=> 3(a²+b²)>=-2ab+2
<=> 3-6ab >= -2ab+2
<=> 1/4>=ab
Ce qui est vrai.

slt voici ma solution
ponson A=a²/a+1+b²/b+1+2-2=(a²+a+1)/(a+1)+(b²+b+1)/(b+1) -2
=a + 1/a+1 +b +1/b+1 -2
=1/a+1 +1/b+1 -1
=3/(a+1)*(b+1)
sachant que la valeur maximale que peut atteindre :ab=1/4 dans le cas a=b=1/2==>ab<=1/4
donc (a+1)*(b+1)<=9/4
et 3/9/4=4/3
alors: A>=3/4 -1
A>=1/3