exo...logique

le nombre (rac(2))^(rac(2)) est-il rationnel ou irrationnel ??

On peut utiliser la valuation p-adique pour montrer qu'il n'est pas rationnel !!! ( en se servant du fait que sqrt2 est irrationnel )

vas-y !! ^^

On suppose que A = (rac(2))^(rac(2)) rationnel donc A=d/q avec d/\q=1 donc A=produit de k allant de 1 à n de p_i ^{a_i} avec a_i des relatifs !!

pour tout p premier on a v_p(A²) = v_p(d²) - v_p(q²) = sqrt(2)*v_p(2) donc p=2 et v_p(A²)=sqrt2 absurde puisque v_p(A²) est un relatifs !!

NB : v_p(k)=c le plus grand tel que p^c | k et p^{c+1} divise pas k

raito321 a écrit:

On suppose que A = (rac(2))^(rac(2)) rationnel donc A=d/q avec d/\q=1 donc A=produit de k allant de 1 à n de p_i ^{a_i} avec a_i des relatifs !!

pour tout p premier on a v_p(A²) = v_p(d²) - v_p(q²) = sqrt(2)*v_p(2) donc p=2 et v_p(A²)=sqrt2 absurde puisque v_p(A²) est un relatifs !!

NB : v_p(k)=c le plus grand tel que p^c | k et p^{c+1} divise pas k

bien !

T'as une autre methode !!??

non malheureusement non ..., jai voulu utiliser l'ln ,mais ça marche pas ... à part cette méthode , je n'en vois pas d'autres !

Il doit bien y avoir une methode avec des outils simple !!

La valuation p-adique est un outils trés fort donc il s'avére trés util mais je préfére les outils simple ( ça fait plus joli lol)

Y a quelque infos sur le net : là http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider

et là http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Gelfond-Schneider

merci pour les infos ^^

on peut utiliser aussi des théoèmes tres difficiles à montrer consernant l'irrationalité de exp(rationel),i j'aurai l'occasion je vais vous fournir des document ou vous aleez trouver la demonstration complete dde ce theoreme.

Je serais bien content puisque c'est le 7éme probléme d'Hilbert !!^^

( enfin c'est une solution partielle de ce 7éme probléme)