Logique

Soient a , b et c quatre entiers de meme signe.
Démontrer que parmi des inégalités:

3ad chft had tmrin.
suppsant qu'il sont tous positifs
a+b<c+d .(ou a'+b'>c'+d' s'il sont negatifs/i'=-i)
(a+b)cd<ab(c+d) . ( (a'+b')c'd'>a'b'(c'+d') )
=> cd<=ab . (c'd'>=a'b')
et on a (a+b)²< (a+b)(c+d)<ab+cd<=2ab.contradiction
(ou (c'+d')²< (a'+b')(c'+d')<a'b'+c'd'<=2c'd') contradiction
dans les 2 cas on trouve la contradiction donc il y en a au moins une qui est fausse
(smholna 3la l3jina

jala a écrit:

3ad chft had tmrin.
suppsant qu'il sont tous positifs
a+b<c+d .(ou a'+b'>c'+d' s'il sont negatifs/i'=-i)
(a+b)cd<ab(c+d) . ( (a'+b')c'd'>a'b'(c'+d') )
=> cd<=ab . (c'd'>=a'b')
et on a (a+b)²< (a+b)(c+d)<ab+cd<=2ab.contradiction
(ou (c'+d')²< (a'+b')(c'+d')<a'b'+c'd'<=2c'd') contradiction
dans les 2 cas on trouve la contradiction donc il y en a au moins une qui est fausse
(smholna 3la l3jina

je crois pas car 1<100 et 4*1<2*100 mais 4<2
et j'ai une question a propos de cet exo :si on avait 2 3 1 et 0 est ce que ces quatres entiers ont le meme signe vu qu'il y a le zero?

oui c vrais (rani f cyber bla wr9a wala stylo tanjawab nichan )
merci L.

slt.
s'il sont toute juste alors.(1ere cas tous positifs)
1) a +b<c+d et (2) (a+b)(c+d)<ab+cd et (3) (a+b)cd<(c+d)ab 1)et 2) => 4ab<(a+b)²<cd+ab => 3ab<cd
et 3) nous donne 3ab (a+b)<(a+b)cd<(c+d)ab
donc 3(a+b)<c+d et en revenant à 2) on aura 36ab<9(a+b)²<cd+ab
et 3) nous donne 36 (a+b)<(a+b)cd<(c+d)ab
et en refesant chaque fois la meme chose ca va arriver (9^n)*4(a+b)<c+d
donc a+b=0 donc a=b=0 qui ne satisfait pas 3)
et le 2eme cas aussi pareil au 1 ere cas
donc il y en a au moins une qui des inegalite qui est fausse.

jala a écrit:

slt.
s'il sont toute juste alors.(1ere cas tous positifs)
1) a +b<c+d et (2) (a+b)(c+d)<ab+cd et (3) (a+b)cd<(c+d)ab 1)et 2) => 4ab<(a+b)²<cd+ab => 3ab<cd
et 3) nous donne 3ab (a+b)<(a+b)cd<(c+d)ab
donc 3(a+b)<c+d et en revenant à 2) on aura 36ab<9(a+b)²<cd+ab
et 3) nous donne 36 (a+b)<(a+b)cd<(c+d)ab
et en refesant chaque fois la meme chose ca va arriver (9^n)*4(a+b)<c+d
donc a+b=0 donc a=b=0 qui ne satisfait pas 3)
et le 2eme cas aussi pareil au 1 ere cas
donc il y en a au moins une qui des inegalite qui est fausse.

la je suppose que t'as fait (c+d)*(ab+cd)/(c+d) seulement on a pas dit si c et d etaient non nuls (j'avais pose la question la haut) donc...

re
j'ai propose cet exo a une personne voila ce qu'elle ma repondu (je precise que ce n'est pas ma solution )

Spoiler:

impressionnant selon moi^^
methode plus"qui peut tomber sur ma tete" work in progress^^

L a écrit:

jala a écrit:

slt.
s'il sont toute juste alors.(1ere cas tous positifs)
1) a +b<c+d et (2) (a+b)(c+d)<ab+cd et (3) (a+b)cd<(c+d)ab 1)et 2) => 4ab<(a+b)²<cd+ab => 3ab<cd
et 3) nous donne 3ab (a+b)<(a+b)cd<(c+d)ab
donc 3(a+b)<c+d et en revenant à 2) on aura 36ab<9(a+b)²<cd+ab
et 3) nous donne 36 (a+b)<(a+b)cd<(c+d)ab
et en refesant chaque fois la meme chose ca va arriver (9^n)*4(a+b)<c+d
donc a+b=0 donc a=b=0 qui ne satisfait pas 3)
et le 2eme cas aussi pareil au 1 ere cas
donc il y en a au moins une qui des inegalite qui est fausse.

la je suppose que t'as fait (c+d)*(ab+cd)/(c+d) seulement on a pas dit si c et d etaient non nuls (j'avais pose la question la haut) donc...

ce que j'ai fait est:
a +b<c+d==>(a+b)²< (a+b)(c+d) (car a+b>0)
et d'apres 2) on a (a+b)(c+d)<ab+cd
donc (a+b)²<cd+ab et (a+b)²>4ab c tres clair
(je n ai pas divise par c+d)
et pour la solution de (la personne qui tu dit) il est bonne .