Je suis d'accord avec Aissa, il y a un signe moins devant la somme
Bon, la formule de la somme de cosinus donne :
I_(n+1)(x) = I_n(x) + int[ sin(nt). sint/(cost)^(n+1), t=0...x]
L'intégration par parties donne :
I_(n+1)(x) = 2.I_n(x) - sin(nx)/n(cosx)^n
On déroule la relation de récurrence :
I_n(x) = 2^(n-1).I_1(x) - sum[ 2^(n-1-k).sin(kx)/k(cosx)^k, k=1...n-1]
Le calcul donne I_1(x)=x
Finalement, |I_n(x)|=< x/(cosx)^n (correct car x fixé dans [0,pi/2[
si x= 0, I_n=0 et donc la suite converge vers 0
si x non nul, I_n(x) tend vers 0 et l'égalité montre que la suite converge.
Conclusion :
pour tout x dans [0, Pi/2[, on a :
x = sum[ .sin(kx)/k2^k(cosx)^k, k=1...+inf] CQFD
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