suite (rectifiée)

Soit (un) la suite definie par :
et Uo £ ]o,1[
Etudier la suite (Un) monotonie et convergence .
Bonnus: determiner lim n.Un lorsque n-->+OO ( c dure )
@+

ben khay selrespect ,je me lance mème si c'est pas si facil...
on montre par une récurrence simple que la suite (u_n)_n£IN est bien définie et toutes ses valeurs sont dans IR*+ vu que u_0£]0,1[.
il est bien connu que pour tout x>0,ln(1+x)=<x.ce qui donne u_(n+1)=<u_(n) ==>(u_n) est croissante est minoré par 0 donc convergente.
le bonus je réflichis encore.

bonjour je pense que tu as commi une erreur mais cest pas un probleme

u_(n)est decoissante ce quiva donner

u_n£]0,1[ qq soit n

pour la limite jai penser a utiliser

u_(n+1)=f(u_(n)) avec f(x)= ln(1+x) et on vq chercher un point fixe qui est tous simplement 0

C'est clair que lim u_n=0 et u_n€]0,1[ qqs soit n
==>1/ u_(n+1)=1/(u-n -(u_n)²/2 +o((u_n)²))= 1/u_n (1+u_n/2 +o(u_n))
==> 1/ u_(n+1)-1/u_n ~ 1/2
Césaro ==> 1/u_n ~ n/2 ==> lim nu_n=2

abdelbaki.attioui a écrit:

C'est clair que lim u_n=0 et u_n€]0,1[ qqs soit n
==>1/ u_(n+1)=1/(u-n -(u_n)²/2 +o((u_n)²))= 1/u_n (1+u_n/2 +o(u_n))
==> 1/ u_(n+1)-1/u_n ~ 1/2
Césaro ==> 1/u_n ~ n/2 ==> lim nu_n=2

oui Cezaro ,
mais les lyceens ne connaissent pas comment utiluser cette methode (mm si je vois qu'elle est partout dans le forum de terminale )
Il faut reflechir a un encadrement au fait tt d'abord, ln(x+1)<x (bienvu radouane ^^ ) ...

f(x)=ln(x+1) - x

f' = 1/x+1 - 1 =-x/x+1

pr x appartenat à [0,+00[ : f' <0

puiske f (0)=0 ainsi pr x apparteenant]0,+00[

f(x)<0

puiske U_n>0 kelke soit n a dmontrer par reccurence

donc f(U_n)<0 donc ln(1+U_n)-U_n = U_n+1 -U_n <0

donc U_n+1 < U_n

ainsi f est décroissante

de plus on sait ke U_n est minoré par 0 ainsi f est convergente

limU_n+1 = limln(U_n+1)
=ln(limU_n+1 +) puiske ln est continue

l=ln(l+1) ainsi l=0

Oui c'est correcte abdou20 et Korabika
maius reste a voir le bonnus !!
en fait je propose une methode ( j'esaie de cacher lutilusation du dL ) calculer lim (ln(x+1)-x)/x² quand x --> o (TAF , encadrement ...) , puis deduire lim 1/u(n+1)-1/un ,
> utiluser Cezaro ,
je pense que tt les mots utilusé çi dessus sont connus , enfin j'espere ! A+

lim (ln(x+1)-x)/x² quand x --> o on peut utiliser l hopital ouiske ln(x+1)-x etx² sont derivables en 0 ainsi ke le quotient (ln(x+1)-x)'/2x=(-x/1+x) / 2x = -1/2(x+1) est défini en 0

ce qui donne lim (ln(x+1)-x)/x² quand x --> o =lim -1/2(x+1) =-1/2

etde plus lim1/u(n+1)-1/un = lim(U_n - U_n+1)/Un*U_n+1 =lim -f(U_n)/U²_n = 1/2 puiske kand n-->+00 U_n--->0

on pose V_n=1/U_n+1 - 1/U_n

sigma V_n (1-->n)=1/Un+1 - 1/U_1

avec cezaro lim 1/n sigma(V_n)=limV_n =1/2

donc lim 1/(nU_n) = lim 1/2 + lim 1/(nU_1) =1/2 donc lim n.U_n =2

bonjour

on peut demontrer facilement avec une etude de fonction que


x-x²/2+x°3/3-x°4/4<ln(x+1)<x-x²/2+x°3/3

puis on va encadrer ln(x+1)-x/x²

la limite en 0 donc est -1/2

pour le reste je vais repondre plus tard