Suite

Soit u_n une suite telle que :

pour tout entier m et n, u_(m+n) =< u_n +u_m
Montrer que u_n/n converge vers un nombre à préciser.

Application : Soit u un endomorphisme d'une algèbre de Banach.

Montrer que |||u^n|||^(1/n) converge.

Trés classique, (Un/n) convergera vers sa borne inferieure !
lemme : (1) soit p >1 trés grand , et a=inf{|Us|,s decrit{0,..p}}:
soit n>p , effectuons la div euxlidienne de n sur m : => n=p.q+r avec r<p,
on a un=<U_{p.q}+U_{r}=<U_{p.q}+a ,devisons sur n ==>
Un/n=<U{pq}/n+a/n,
Or U{pq}/n<U{pq}/{pq}=<q.Up/{pq}=Up/p
donc ,Un/n=<Up/p+a/n (1) ,
>Un/n convergera vers son inf=l si ss si pour tt £>0 , existe n° tq a partir duquel on a : Un/n \in ]l,l+£[
donc soit £>0 , il existe N tq : UN/N=<l+£
donc pr tt n>=N , Un/n=<UN/N+a/n=<£+l+a/n=h_n+£
or la suite h_n-->l , avec les definition (encore ) on assure que (Un/n)-->l cqfd

classique en effet