exercice )4(:

exercie )4(:

soit f une fonction continue telle que {f(x)}=f({x}).montrer que f ou
g(x)=f(x)-x sont périodique.
{} la partie décimal.

vu que personne n'a posté une solution,je poste la mienne.
pour tout x in [0,1[ on a {x}=x, donc f(x)={f(x)}pour tout x de[0,1[, donc f(x) appartient à [0,1[ pour tou x de [0,1[ (*).Or {f(0)}=f(0)={f(1)} on trouve que f(1)-f(0) appartient à Z, en vertue de (*) on obtient f(1)-f(0) = 0 (a) or 1 (b).

pour le premeir cas (a) on obtient f(x+1)=f(x) et pour (b) f(x+1)-(x+1)=f(x)-x.

ce qui prouve que f est périodique de période 1 ou g est périodique de période 1.