inegalité a vos mains

on a x,y,z>0 et
démmontrer que

a3id

DSL
il manque l'indice de la somme sum_{?-->?}
merci et ramadan mobarak a tous

mathema a écrit:

DSL
il manque l'indice de la somme sum_{?-->?}
merci et ramadan mobarak a tous

inéga cyclique ?

mathema a écrit:

DSL
il manque l'indice de la somme sum_{?-->?}
merci et ramadan mobarak a tous

cest un sigma cyclique

lexpession est egale à (je pense)
x^3/(y^3+8 )+y^3/(z^3+8 )+y^3/(z^3+8 )

et ramadan moubarak ^^

A+

o0aminbe0o a écrit:

mathema a écrit:

DSL
il manque l'indice de la somme sum_{?-->?}
merci et ramadan mobarak a tous

cest un sigma cyclique

lexpession est egale à (je pense)
x^3/(y^3+8 )+y^3/(z^3+8 )+z^3/(x^3+8 )

et ramadan moubarak ^^

A+

[b]

oui je sais segma cyclique c'est a dire:
x^3/(y^3++y^3/(z^3++z^3/(x^3+
mais il faut le signer merci a tous et ramadan moubarak a tous

c connu voir meme dans l'imo 2008

greatestsmaths a écrit:

c connu voir meme dans l'imo 2008

C'est pas un exo de l'imo 2008

j'ai que ce symbol est connu et il est meme dans l'imo 2008
je ne parle pas de l'exo mais du symbol.

ok dsl

salut
posons: a=x^3+8 et b=y^3+8et c=z^3+8 et S le coté gauche de l inégalité
a/a+b/b+c/c<=a/b +b/c +c/a
(a/a+ b/b +c/c)-[8/(x^3+8 ) +8/(y^3+8 ) +8/(z^3+8 )]<=(a/b +b/c +c/a)-[8/(x^3+8 ) +8/(y^3+8 )+8/(z^3+8 )]
donc S>=x^3/(x^3+8 ) +y^3/(y^3+8 )+z^3/(z^3+8 )
la fonction f(x)=x^3/(x^3+8 ) est convexe d aprés l inégalité de jensen
on a: x^3/(x^3+8 ) +y^3/(y^3+8 )+z^3/(z^3+8 )>=3F(1)=3(1)/(1+8 )=1/3
donc S>=1/3
et xy+yz+zx<=9/3=3
donc 2/27(xy+yz+zx)+1/9<=9/27=1/3<=S

Par AM/GM on a:x^3/(y^3++(y+2)/27+(y^2-2y+4)/27 (sup à) x/3
on fait une somme cyclique et on utilise l egalité (x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)donc
(x^2+y^2+z^2)=9-2(xy+yz+zx)
on aura l inegalité demandé

x^3/(y^3++(y+2)/27+(y^2-2y+4)/27 (sup à) x/3

par Cauchy - Schwartz
sachant que
on a

mais


ce qui est vrai

et