f croissante sur [a;b] <=> f croissante sur ]a;b[ ??

je veux demontrer que :



soit f une fonction continue sur [a;b]

f est strictement croissante sur [a;b] <=> f est strictement croissante sur ]a;b[

la question qui se pose est ce que la monotonie est definit sur des points comme a et b ou sur des intervalles comme
[a;b] et ]a;b[

Définitions
Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles, et définies sur des intervalles de non réduits à un point.
Soient un intervalle de et une fonction .

Monotonie au sens large


On dit que est :

• croissante (ou : croissante au sens large) sur si
  

pour tout couple d'éléments de tels que , on a .

• décroissante (ou : décroissante au sens large) sur si
  

pour tout couple d'éléments de tels que , on a .

• monotone (ou : monotone au sens large) sur si elle est croissante sur ou décroissante sur .
  

donc je vois qu evotre equivalence n'a pas de sens puisque la définition dit que se n'et pa dans un point mais dans un intervalle

]a,b[ est inclu dans [a,b] donc la question n'a meme pas lieux d'etre

colonel a écrit:

]a,b[ est inclu dans [a,b] donc la question n'a meme pas lieux d'etre

je croi que tu parle de l'appliquation :
f est strictement croissante sur [a;b] <= f est strictement croissante sur ]a;b[

moi je veux une expliquation aui prouve l'equivalence, j'ai pas trouvé ou plutot j'ai peu compris ce que vous avez postez

greatestsmaths a écrit:

Citation :

donc je vois qu evotre equivalence n'a pas de sens puisque la définition dit que se n'et pa dans un point mais dans un intervalle

Intervalles de R :
Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
Cette définition regroupe les intervalles des types suivants :






je parle pas de la croissance en un point mais dans un intervalle !!!!!

j'ai toujours besoin de votre aide

premierement je veux te signaler que
[a;b]=]a;b[U{a}U{b}
]a;b[ est intervalle
mais a et b sont des points.
quand tu as posé que
f est strictement croissante sur [a;b] <=> f est strictement croissante sur ]a;b[
c-a-d que f est strictement croissante sur ]a;b[U{a}U{b} mais sachant que la monotonie est définit sur des intervalles c'est pas la peine de faire cette equivalence
car ]a;b[C[a;b]

greatestsmaths a écrit:

premierement je veux te signaler que
[a;b]=]a;b[U{a}U{b}
]a;b[ est intervalle
mais a et b sont des points.
quand tu as posé que
f est strictement croissante sur [a;b] <=> f est strictement croissante sur ]a;b[
c-a-d que f est strictement croissante sur ]a;b[U{a}U{b} mais sachant que la monotonie est définit sur des intervalles c'est pas la peine de faire cette equivalence
car ]a;b[C[a;b]

j'ai toujours bien compris .
je pose la kes d'une autre manière :

f est une fonction definie sur R, et continue sur [a;b].
on a pour qlqsoi x de ]a;b[: f'(x)>0
est ce que j'ai le droit d'ecrire : f est strictement croissante sur [a;b]
si oui ou nn, pourquoi????

pense à utiliser un raisonnement par absurde et tu trouvera que f sera constante sur tout un intervalle

we t'as le droit de l'écrire car la monotonie est sur un intervalle mais la dérivabilité peut etre sur des points.

anassitto a écrit:

greatestsmaths a écrit:

premierement je veux te signaler que
[a;b]=]a;b[U{a}U{b}
]a;b[ est intervalle
mais a et b sont des points.
quand tu as posé que
f est strictement croissante sur [a;b] <=> f est strictement croissante sur ]a;b[
c-a-d que f est strictement croissante sur ]a;b[U{a}U{b} mais sachant que la monotonie est définit sur des intervalles c'est pas la peine de faire cette equivalence
car ]a;b[C[a;b]

j'ai toujours bien compris .
je pose la kes d'une autre manière :

f est une fonction definie sur R, et continue sur [a;b].
on a pour qlqsoi x de ]a;b[: f'(x)>0
est ce que j'ai le droit d'ecrire : f est strictement croissante sur [a;b]
si oui ou nn, pourquoi????

Oui t'as le droit.
f est strictemeent croissante sur ]a,b[ .
il suffit de montrer que f est injective ( pr pouvoir dire que f admet en a et b des extremums atteint seulement en a et b .) si il existe c>a tq f(c)=f(a) clairement f sera constant sur ]a,c [ --> f' s'annulle --> contradiction !!
de mm pr b !.
M eme la premiere version est juste ( sans condition de derivabilité ! )

anassitto a écrit:

je veux demontrer que :
soit f une fonction continue sur [a;b]
f est strictement croissante sur [a;b] <=> f est strictement croissante sur ]a;b[

BSR à Toutes et Tous !!
Bon & Joyeux RAMADAN à Vous !!

Les ensembles [a;b] et ]a;b[ sont tous les deux des INTERVALLES de IR et ]a;b[ est inclus dans [a;b]
Il est CLAIR , que selon la définition de la CROISSANCE STRICTE que j'ai lue plus haut , l'on a alors trivialement :
f est strictement croissante sur [a;b] ======> f est strictement croissante sur ]a;b[
C'est la réciproque qui reste à prouver :
Supposons donc f strictement croissante sur ]a;b[
Est-ce-que f l'est encore sur [a;b] ??????
Soient donc x et y deux éléments quelconques dans [a;b] tels que x<y
est ce que f(x)<f(y) ?????
Si x et y sont dans dans ]a;b[ alors c'est vrai puisque f est supposée strictement croissante sur ]a;b[
Si x=a et y vérifie a<y<=b , alors soit zo tel que a<zo<y
pour tout z tel que a<z<zo<y on peut écrire
f(z)<f(zo)<f(y)
maintenant , faisons tendre z vers a+ alors puisque f est continue à droite en a , on pourra écrire f(a)=Limf(z)<=f(zo)<f(y) qd z---->a+
d'ou f(a)<f(y)
Si y=b et x verifie a<x<=b on fera le même raisonnement que ci-dessus , il suffira de changer les rôles !!
Ensin si x=a et y=b
On prendra zo et z1 tels que a<zo<z1<b
Pour tous u et v tels que a<u<zo<z1<v<b
on pourra écrire f(u)<f(zo)<f(z1)<f(v)
Maintenant on fait tendre SIMULTANEMENT u---->a+ et v----->b-
par continuité de f aux points a et b , alors :
f(a)=Limf(u)<=f(zo)<f(z1)<=Limf(v)=f(b) et ainsi f(a)<f(b) !!!!

Et le tour est joué !!!!!