Tous les entiers n.. - Divisibilité.

Trouver tous les entiers positifs n qui satisfont :
Si x et y sont des entiers positifs tels que (x²+y²)/(x+y) est divisible par n, alors x = y.

Bonjour,

Ou je n'ai pas compris le problème, ou il n'existe aucun tel entier n.

En effet : Pour tout entier n, en prenant x=3n et y=6n, le rapport (x^2+y^2)/(x+y) vaut 5n et est divisible par n sans que x soit égal à y.

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Patrick

Salut,

oui, c'est de ma faute.
Je me suis mal exprimé.
En fait, la propriété est plutôt "si, pour tous x et y entiers positifs tels que (x²+y²)/(x+y) € Z et est divisible par n, alors x=y".

Bonjour,

mathman a écrit:

En fait, la propriété est plutôt "si, pour tous x et y entiers positifs tels que (x²+y²)/(x+y) € Z et est divisible par n, alors x=y".

Non, tu ne t'es pas mal exprimé : il semble bien que c'est ce que j'avais compris en première lecture.

Tu cherches tous les n > 0 pour lesquels P(n) définie ci dessous est vraie.

Propriété P(n), n > 0 :
Pour tout (x,y) de N*^2 :
(x²+y²)/(x+y) € Z et (x²+y²)/(x+y) divisible par n ==> x = y


Et je dis qu'il n'y en a aucun.

En effet, pour un n quelconque, il existe toujours un couple (x,y) de N*^2 tel que
(x²+y²)/(x+y) € Z et (x²+y²)/(x+y) divisible par n et x différent de y
Il suffit en effet de prendre le couple (3n, 6n)

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patrick

Yep.

Et maintenant, (plus intéressant), la même chose sauf que la condition est "(x^2+y^2)/(x+y) | n".

Bonjour

mathman a écrit:

Et maintenant, (plus intéressant), la même chose sauf que la condition est "(x^2+y^2)/(x+y) | n". :)

Ah oui. Celui-là est costaud !

(x^2 + y^2)/(x+y) = k ==> y(y - k) = x(k - x)

Soit u = pgcd(x, y) :
On a x = uv et y = uw avec bien sûr v et w premiers entre eux, et donc w - k = zv et k - uv = zw

(u,v,w,z) doivent alors respecter : k = uw - zv = uv + zw, soit u(w - v) = z(w + v)

Donc :
si w et v, premiers entre eux, sont de parités différentes : u = t(w + v), z = t(w - v), x = uv, y = uw et k = t(v^2 + w^2)
Si w et v, premiers entre eux, sont impairs tous deux : u = t(w + v)/2, z = t(w - v)/2, x = uv, y = uw et k = t(v^2 + w^2)/2

Donc v^2 + w^2 divise n (si w et v, premiers entre eux, sont de parités différentes) ou divise 2n (si v et w sont impairs tous deux).

A cet endroit, il convient d'utiliser la propriété suivante : "un nombre A est somme des carrés de deux entiers si et seulement si la décomposition en facteurs premiers de ce nombre A ne comporte aucun facteur premier de la forme 4k+3 à une puissance impaire"

Donc : si n comprend un facteur premier p de type 4k+1, ce facteur premier est décomposable en somme de deux carrés nécessairement non nuls et différents (p impair) et je peux trouver x et y non nuls et différents tels que (x^2 + y^2)/(x+y) soit entier et divise n.

Dans tous les autres cas, on a v^2 + w^2 = 2^a b^2 avec b ne comprenant que des facteurs premiers de forme 4k+3.
En analysant cette égalité modulo 4, on voit que a vaut 0 ou 1.

Donc : v^2 + w^2 = b^2 ou v^2 + w^2 = 2b^2 avec b ne comprenant que des facteurs premiers de forme 4k+3.
En poussant l'analyse avec les mêmes méthodes, on montre que le premier cas implique nécessairement v ou w nul, alors que le second cas implique nécessairement v=w.

Donc, si n ne comprend aucun facteur premier de type 4k+1, v^2 + w^2 divise n ou 2n implique v nul, ou w nul, ou v = w. Soit : x nul, y nul ou x=y.

L'ensemble n cherché est donc l'ensemble des nombres entiers dont la décomposition en facteurs premiers ne comprend aucun nombre premier de la forme 4k+1.
Pour être parfaitement rigoureux, il convient d'inclure le nombre 1 dans cet ensemble.

E = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 21, ... }

Voilà.
En espérant ne pas m'être trompé.

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Patrick