- callo a écrit:
- montrer (il existe plusieurs méthodes pr le faire) que l'exponentielle n'est pas une fonction rationelle c a dire qu'il nexiste pas de P et Q tq exp = P/Q
BJR à Toutes et Tous !!
BJR callo !!
Prouvons le par l'absurde !
S'il existait deux polynômes S(X) et T(X) de IR[X] tel que l'on ait identiquement :
(*) exp(x)=S(x)/T(x) pour tout x dans IR
On peut supposer S(X) et T(X) premiers entre eux , ce qui veut dire que la fraction rationnelle S(X)/T(X) est irréductible ( en d'autres termes S(X) et T(X) n'ont pas de racines communes )
Alors , d'une part T(X) ne devrait surtout pas avoir de racines réelles ( sinon on aurait une SINGULARITE dans l’expression S(x)/T(x) )
On écrira :
S(X)=an .X^n+ ………………..+ao
T(X)=bm.X^m+………………..+bo et ao=bo puisque 1=exp(0)=S(0)/T(0)=ao/bo
Lorsqu’on fait tendre x vers +00 , on sait que exp(x) -----> +oo , les deux membres de l’égalité (*)
étant des fonctions continues de x alors cela exige que :
n>=m+1 et bien sûr {an/bm}>0
MAIS alors , s’il en était ainsi , on n’aurait plus :
exp(x) -------> 0+ lorsque x--------> -oo
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