Une limite tirée du programme

Calculer:

tentative:

x-->0 lim(1-cos(x)cos(2x)...cos(nx))/x²
=x--> lim1/x²-2(cos(x)/x)(cos2x/2x)cos(3x)....cos(nx)
=-2*1*1*1....*1+(x-->0)lim1/x²
=+ inffinie

Désolé mais c'est faux!!

(1-cosxcos2xcos3x...cosnx)/x²=1-cos²cos²2x...cos²nx)/x²(1+cosxcos2x...cosnx
=(1-(1-sin²x)(1-sin²2x)....(1-sin²nx)/x²(...)
=(1-(1-(sin²x-sin²2x...-sin²nx)/x²(x²(1+cosxcos2x....)-(somme de produits qui sur x² tend vers zero )
=sin²x/x²(..tend vers 2)+sin²2x/x²(...tend vers 2).......
=1/2+2²/2+....
=sigma (k=1 jusquan)k²/2
sauf erreur

C'est joli Mr. L, qu'attends tu pour donner le résultat en fonction de n?
Attention, tu dois expliciter cette somme de produit qui sur x² tend vers 0.

oui tu as raison je crois qu'on peut simplifier comme ca
(1+2²+3²+4²......n²)/2
on sait que qqsoit n de N*
1+2²+3²+4²...n²=n(n+1)(2n+1)/6 (a demontrer par recurrence)
d'ou L=n(n+1)(2n+1)/12

j'ai pas compris ta methode L

zakarya a écrit:

tentative:

x-->0 lim(1-cos(x)cos(2x)...cos(nx))/x²
=x--> lim1/x²-2(cos(x)/x)(cos2x/2x)cos(3x)....cos(nx)
=-2*1*1*1....*1+(x-->0)lim1/x²
=+ inffinie

stp je nai pas compris ce qui est en rouge
si on prend lexemple (1-a)(1-b)(1-c)=(1-a-b+ab)(1-c)=(1-a-b+ab-c+ac+bc-abc) don cue ca soit ab//x² ou abc sur x² ou abcd/x² ca tend toujours vers zero je ne sais pas pourquoi je dois absolument le monter
pour spiderccam j'ai fait lmourafik,utiliser le fait que cos²=1-sin²,developper puis calculer

L a écrit:

(1-cosxcos2xcos3x...cosnx)/x²=1-cos²cos²2x...cos²nx)/x²(1+cosxcos2x...cosnx
=(1-(1-sin²x)(1-sin²2x)....(1-sin²nx)/x²(...)
=(1-(1-(sin²x-sin²2x...-sin²nx)/x²(x²(1+cosxcos2x....)-(somme de produits qui sur x² tend vers zero )
=sin²x/x²(..tend vers 2)+sin²2x/x²(...tend vers 2).......
=1/2+2²/2+....
=sigma (k=1 jusquan)k²/2
sauf erreur

la je suis plus je sais que ta remplacer le fait que 1²+-------------

essaye de m'eclairsir slp

L a écrit:

zakarya a écrit:

tentative:

x-->0 lim(1-cos(x)cos(2x)...cos(nx))/x²
=x--> lim1/x²-2(cos(x)/x)(cos2x/2x)cos(3x)....cos(nx)
=-2*1*1*1....*1+(x-->0)lim1/x²
=+ inffinie

stp je nai pas compris ce qui est en rouge
si on prend lexemple (1-a)(1-b)(1-c)=(1-a-b+ab)(1-c)=(1-a-b+ab-c+ac+bc-abc) don cue ca soit ab//x² ou abc sur x² ou abcd/x² ca tend toujours vers zero je ne sais pas pourquoi je dois absolument le monter
pour spiderccam j'ai fait lmourafik,utiliser le fait que cos²=1-sin²,developper puis calculer

pardonne mais c'est une erreur que j'ai commis

et la limite est ce qu'elle est egale à -n/2 ? hein ??

spiderccam a écrit:

L a écrit:

(1-cosxcos2xcos3x...cosnx)/x²=1-cos²cos²2x...cos²nx)/x²(1+cosxcos2x...cosnx
=(1-(1-sin²x)(1-sin²2x)....(1-sin²nx)/x²(...)
=(1-(1-(sin²x-sin²2x...-sin²nx)/x²(x²(1+cosxcos2x....)-(somme de produits qui sur x² tend vers zero )
=sin²x/x²(..tend vers 2)+sin²2x/x²(...tend vers 2).......
=1/2+2²/2+....
=sigma (k=1 jusquan)k²/2
sauf erreur

la je suis plus je sais que ta remplacer le fait que 1²+-------------

essaye de m'eclairsir slp

(1-(1-sin²x)(1-sin²2x)....(1-sin²nx)=1-1+sin²x+sin²2x.....+sin²nx +des produit dial sin*sin .....)daba je n'ai fait que developper
<=>sin²x+sin2x....sin²nx+(lkmala)
apresondivise par x²(1+cosx+cos2x+...cosnx) le x² et sin²ax donneront a ,et ce a sur(1+cosx+cos2x...)donnera a/2 et ainsi de suite ,et dik (lkmala)/x²(1+cosx+cos2x...)c 0 car on aura par exemple sin²*sin²2x/x²*(1+cosx+cos2x...) ,lma sin² et x² donneront 1 mais *sin²x=0 eet ainsi de suite
j'espere que tu m'as compris stp di le sinon

_Bigbobcarter_ a écrit:

et la limite est ce qu'elle est egale à -n/2 ? hein ??

pourquoi?

y aune autre métode qui donne le mm résultat de l
1-cosxcos2x....cosnx=1-cosx+cosx(1-cos2xcos3x...cosnx)=1-cosx+cos(1-cos2x+cos2x(cos3xcos4x...cosnx))
je pense que vous avez compris l' blan

L parceque j'ai calculé et j'ai toruvé -n/2 !!

ta methode stp ckoi?

re :L
g fai une faute !
la limite egal a koi au juste ??

j'ai trouvé ceci :
F(x)=[1-(cosxcos2x...cosnx)]/x²=
[1+(sin²x+sin²2x+...+sin²nx)+(sin²x sin²2x+sin²2x sin²3x...+sin²(n-1)sin²nx)+(sin²x sin²2x...sin²nx)]/[x²(1+cosxcos2x...cosnx)]

alors x-->0 limF(x)=(1/2)lim(1/x²) quand x tend vers 0
on a x-->0 lim (1/x²)=+ inffinie
donc x-->0 limF(x)=+inffinie

zakarya a écrit:

j'ai trouvé ceci :
F(x)=[1-(cosxcos2x...cosnx)]/x²=
[1+(sin²x+sin²2x+...+sin²nx)+(sin²x sin²2x+sin²2x sin²3x...+sin²(n-1)sin²nx)+(sin²x sin²2x...sin²nx)]/[x²(1+cosxcos2x...cosnx)]

alors x-->0 limF(x)=(1/2)lim(1/x²) quand x tend vers 0
on a x-->0 lim (1/x²)=+ inffinie
donc x-->0 limF(x)=+inffinie

j'ai pas compris
la limite est apres simplification n(n+1)(2n+1)/12

BJR à Toutes et Tous !!
Cette limite a déjà été postée ICI il y a un bout de temps et résolue par votre Serviteur grâce à une RECURRENCE simple :

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/limite-interessante-t9656.htm#82433

Oeil_de_Lynx a écrit:

.........
BJR à Toutes et Tous !!!
On va poser d'abord :
A(n)=1-cos(x).cos(2x).cos(3x)........cos(nx) pour n entier n>=1
Puis on va démontrer par récurrence sur n
( Istidlal Bi Tarajo3 )
la propriété suivante :
(P) :<< Pour chaque n entier , n>=1 L(n)=Lim{A(n)/x^2} lorsque x---->0 avec x<>0 existe >>

PREUVE : P(1) est VRAIE car selon votre Cours de Terminales
L1=Lim{A(1)/x^2}=Lim{1-cosx}/x^2=1/2 lorsque x---->0 , x<>0 .

Hypothèse de Récurrence : supposons que P(n) soit VRAIE alors , on écrira ASTUCIEUSEMENT :
A(n+1)={1-cos((n+1).x)}+cos((n+1)x).A(n)
puis , divisant par x^2 , on obtiendra :
(*) A(n+1)/x^2={1-cos((n+1).x)}/x^2 + cos((n+1)x).{A(n)/x^2}
Remarquons alors que :
{1-cos((n+1)x)}/x^2=(n+1)^2.{1-cos((n+1)x)}/((n+1)x)^2}
et cette quantité tend vers (1/2).(n+1)^2 lorsque x--->0 , x<>0
Dans l'égalité (*) , faisons tendre x vers 0 , , x<>0 ; on obtiendra :
L(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + L(n)
Par conséquent , si L(n) existe alors L(n+1) existe aussi donc P(n+1) sera encore VRAIE !!!
Ce Qu'il fallait Démontrer !!

La formule précédente L(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + L(n) est assez intéressante puisque c'est une relation de récurrence entre L(n+1) et L(n) permettant sans difficultés de trouver l'expression de L(n) connaissant celle de
L(1)=1/2 et de n seuls !!!!
Il est facile de vérifier par télescopie que :
L(n)=(1/2).{1+2^2+3^2+........+n^2} pour tout entier n , n>=1

procédez par récurrence sur n
pour n=1 lim=1/2
pour n=2 lim=1/2+2^2/2

moi
j'ai trouvé


n(n+1)(2n+1)/12

hhhhh tu veux savoir le résultats achete DIMA DIMA tt simpleument
le resulta est: (n²/2) + ((n-1)²/2)+.....+2²/2

je crois pas ke cette limite est ds DIMa DIMA??