Plan coloré

Les points du plan sont coloriés à l'aide de deux couleurs. Montrer qu'il existe un triangle rectangle isocèle dont les trois sommets sont de la même couleur.

Un deuxième essai, beaucoup plus compliqué, après avoir réfléchi un peu et rempli 2 pages de gribouillis infâmes ...


D'abord on peut trouver trois points A,B,C alignés de même couleur tels que AB=BC :
. on prend 9 fois 3 points de la forme (n,n+1,n+2) sur une droite quelconque.
. Il n'y a que 8=2^3 façons de colorier 3 points.
. On se retrouve donc avec 2 triplets identiques.
. Dans ces 2 triplets on prend les 2 x 2 points de même couleur et on prend leurs milieux. Ca fait 3 points régulièrement espacés.
. Ou bien ces trois points sont de même couleur et bingo ou bien au moins 1 est de la même couleur que les points dont il est le milieu et re-bingo.

Ouf.

On a donc A,B,C alignés avec AB=BC. On construit 3 triangles isocèles rectangles AXB, AYC et BZC (du même côté de la droite ABC). Ou bien X,Y et Z sont de même couleur et on prend XYZ comme triangle isocèle rectangle sinon au moins un des points est de la même couleur que A,B,C et on peut construire un triangle isocèle rectangle avec ce point.


Très joli problème. Si Ismail nous donne une solution en 1 ligne, j'arrête les maths et je me mets aux timbres-postes ...

Re-ouf.

et si les points sont allignés?

Bonne remarque

Ca marche pas mon truc ....

Voici une methode plus simple:
on choisit deux points ayant la même couleur A
Il existe trois points (dans chaque mi-plan)pour former avec les deux precedent le triangle demandé,
* si un de ces points est de couleur A , le probleme est resolu
* si tous ces points sont de couleur B , on remarque qu'ils constitue tout les trois le triangle demandé.

Tu peux expliciter un peu Ismael, je vois pas trop là ....

je vais essayer d'etre plus clair:
on considere les points A et B de même couleur "a"
on va travailler sur un seul mi-plan.On peut choisir trois points C1 C2 C3
pour que le triangle (ABCi) soit rectangle isocele (1=<i=<3)
si un des points C1 C2 et C3 et de couleur "a" , le probleme est resolu
si les points C1 C2 et C3 sont de l'autre couleur "b" le probleme est aussi resolu car le triangle (C1C2C3) est rectangle isocele.

>> trois points C1 C2 C3 pour que le triangle (ABCi) soit rectangle isocele (1=<i=<3) ..
>> le triangle (C1C2C3) est rectangle isocele.


Ismail, excuse moi, je dois être très très c*n, mais je vois pas pourquoi C1C2C3 est rectangle isocele (sans sortir du plan, ce qui est contraire aux hypothèses)

tµtµ a écrit:

>> trois points C1 C2 C3 pour que le triangle (ABCi) soit rectangle isocele (1=<i=<3) ..
>> le triangle (C1C2C3) est rectangle isocele.

j'ai la meme question que tutu
pourquoi ??
je vois pas moi aussi ismail ??

on prend par exemple C1 pour que le triangle ABC1 soit rectangle isocele en A (hypotenuse BC1)
et C2 pour que ABC2 soit rectangle isocele en B (hypotenuse AC2)
et C3 pour que ABC3 soit rectangle isocele en C3(hypotenuse AB)
si on fait une figure , on va obtenir un carré ABC1C2 de centre C3....

Deux autres solutions dans ce topic : https://mathsmaroc.jeun.fr/viewtopic.forum?t=1082