suite!!

salut et
monter que

Ceci n'est vrai que pour n >= 4.

je l ai pas encore resolu
je n ai fait q1 (copier coller)

(x_4)²>5

et x_2?

pour tout n ?

je pense qu'il ya une erreur n'est ce pas?

Bonsoir à tous.
J'ai longtemps cherché sans trouver. C'est ma soeur (prof de maths) qui propose cette solution:

Soit g(x) = x + 1/x; g(x) est décroissante sur ]0,1]
On va montrer par récurrence que
pour tout n > 3 : n^(1/2) + n^(-3/2) < x_n < (n+1)^(1/2)

Initialisation :
Pour n=4, on a :
n^(1/2) + n^(-3/2) = 2,125
(n+1)^(1/2) = 2,236
x_4 = 13/6 = 2,166
et la propriété est vérifiée.

Hérédité :
Supposons donc n > 3 et
n^(1/2) + n^(-3/2) < x_n < (n+1)^(1/2)
Alors
n^(-1/2) + n^(-5/2) < x_n/n < (n+1)^(1/2) /n
Comme (n+1)^(1/2) n^(-1/2) < 1, on est dans la zone où g(x) est décroissante et on a donc :
g((n+1)^(1/2)/n) < g(x_n/n) < g(n^(-1/2) + n^(-5/2) )
Et donc :
g((n+1)^(1/2)/n) < x_(n+1) < g(n^(-1/2) + n^(-5/2) )

g((n+1)^(1/2) /n) = (n+1)^(1/2)/n + n/(n+1)^(1/2)
= (n+1)^(1/2) + n^(-1)(n+1)^(-1/2)
Et comme n^(-1) > (n+1)^(-1) :
g((n+1)^(1/2) /n) > (n+1)^(1/2) + (n+1)^(-3/2)
et donc :
x_(n+1) > (n+1)^(1/2) + (n+1)^(-3/2)
et la première partie de l'hérédité est vérifiée.

Il reste à montrer :
g(n^(-1/2) + n^(-5/2) ) < (n+2)^(1/2)
Soit :
n^(-1/2) + n^(-5/2) + 1/(n^(-1/2) + n^(-5/2)) < (n+2)^(1/2)
((n^2+1)^2 + n^5)/(n^(5/2)(n^2+1)) < (n+2)^(1/2)
((n^2+1)^2 + n^5)^2/(n^5(n^2+1)^2) < (n+2)
((n^2+1)^2 + n^5)^2 < (n+2)n^5(n^2+1)^2
(n^2+1)^4 + n^10 + 2n^5(n^2+1)^2 < (n+2)(n^9 + 2n^7 + n^5)
(n^2+1)^4 + n^10 + 2n^5(n^2+1)^2 < n^10 + 2n^8 + n^6 + 2n^9 + 4n^7 + 2n^5
(n^2+1)^4 < 2n^8 + n^6
0 < n^8 - 3n^6 - 6n^4 - 4n^2 - 1

Si on écrit
f(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 - 4x - 1
f'(x) = 4x^3 - 9x^2 - 12x - 4
f''(x) = 12x^2 - 18x - 12 = 12(x-2)(x+1/2)
Pour x > 2 f''(x)>0 et f'(x) est croissante
Comme f'(4) = 60 > 0, on sait donc que f'(x) > 0 pour x > 4
Pour x > 4, f(x) est donc croissante.
Comme f(5) = 79 > 0 et que f(x) croît pour x > 4, on a
f(x) > 0 pour x > 5
Donc f(x^2) > 0 pour x > 3
Donc n^8 - 3n^6 - 6n^4 - 4n^2 - 1 > 0 pour n > 3
Ouf ..... !
Ceci clôt l'hérédité

Donc
pour tout n > 3 : n^(1/2) + n^(-3/2) < x_n < (n+1)^(1/2)
Soit :
pour tout n > 3 : n^(1/2) < x_n < (n+1)^(1/2)
Soit :
pour tout n > 3 : n < x_n^2 < n+1
Et donc :
pour tout n > 3 : [x_n^2] = n

CQFD

--
Patrick

Voici la preuve que je connais pour ce problème :

On pose f(x) = x/n + n/x.
Comme f(a) - f(b) = ((a-b)(ab-n²))/(abn), f est décroissante sur ]0, n].

On commence par prouver que : n^(1/2) <= x_n <= n/((n-1)^(1/2)), pour n >= 3.
Initialisation : 3^(1/2) <= x_3 = 2 <= 3/(2^(1/2)), c'est bon.
Hérédité : On suppose que n^(1/2) <= x_n <= n/((n-1)^(1/2)) pour n >= 3, et on a : x_{n+1} = f(x_n) <= f(n^(1/2)) = (n+1)/(n^(1/2)),
et : x_{n+1} = f(x_n) >= f(n/((n-1)^(1/2))) = n/((n-1)^(1/2)) > (n+1)^(1/2), c'est bon.

Maintenant on doit prouver que x_n < (n+1)^(1/2) pour n >= 4.
On a : x_{n+1} = f(x_n) >= f(n/((n-1)^(1/2))) = n/((n-1)^(1/2)) avec n >= 3, d'où : x_n >= (n-1)/((n-2)^(1/2)), avec n >= 4,
et donc : x_{n+1} = f(x_n) < f((n-1)/((n-2)^(1/2))) = ((n-1)² + n²(n-2))/((n-1)n(n-2)^(1/2)) < (n+2)^(1/2), avec n >= 4.

On a donc [x_n^2] = n, avec n >= 5, et on vérifie manuellement que [x_4^2] = 4.

Bonjour,

Pas mal, mais du même ordre de complexité que celle que j'ai donnée.
En particulier, prouver que ((n-1)² + n²(n-2))/((n-1)n(n-2)^(1/2)) < (n+2)^(1/2), avec n >= 4 nécessite un peu de développement et l'étude d'une cubique.

Par ailleurs, cette inégalité est vraie pour n=3 et la récurrence précédente est vraie aussi pour n=2 car 2^(1/2) <= x_2 = 2 <= 2/(1^(1/2)).
On peut donc commencer un cran plus tôt, ce qui évite d'avoir à vérifier manuellement le cas x_4.

Bravo quand même.
--
Patrick